Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начинаем с одного и того же φ, то мы опишем это φ на языке трех амплитуд < iS |φ> — амплитуд того, что φ переходит в наши базисные состояния в представлении S , а он опишет это φ амплитудами < jТ |φ> — амплитудами того, что состояние φ переходит в базисные состояния в его, Т , представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии φ? Это можно сделать с помощью нашего общего правила II [см. (3.27)]. Заменяя χ любым из его состояний jT , напишем

(3.37)

Чтобы связать оба представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу < jT | iS >. Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его уравнения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине < jT | iS > иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T ». Слова ученые!)

Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в векторной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z '. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векторов от одной тройки осей к другой.

Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проделать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобразований амплитуд спина 1 от представления S к другому представлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т . (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)

Первый случай . У прибора Т ось у (вдоль которой движутся частицы) та же самая, что и у S , но Т повернут вокруг общей оси у на угол α (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, укажем, что в приборе Т установлена система координат х ', у ', z ', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosα+ х sinα; х '= х cosα- z sinα; у '= у .) Тогда амплитуды преобразований таковы:

(3.38)

Второй случай . Прибор Т имеет ту же ось z, что и S , но повернут относительно оси z на угол β. (Преобразование координат: z'=z; х '= x cosβ+ y sinβ; у '= у cosβ- х sinβ.) Тогда амплитуды преобразований суть

(3.39)

Заметьте, что любые вращения Т можно составить из описанных двух вращений.

Если состояние φ определяется тремя числами

(3.40)

и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами

(3.41)

тогда коэффициенты < jT | iS > из (3.38) и (3.39) дают преобразования, связывающие С i и С ' i . Иными словами. С i очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.

Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая совокупность базисных состояний, которая преобразуется в точности, как три компоненты вектора . Три комбинации

(3.42)

преобразуются в С ' х , С ' у , С ' z как раз так же, как х, у, z преобразуются в х ', у ', z '. [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».

Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний [10] Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности. . Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать любую подходящую систему базисных состояний, и каждый вправе выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований n × n . Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.

Наконец, мы пообещали рассказать о том, что надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние χ. Вы не знаете, каково то состояние φ, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, занимались такими задачами, в которых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой проблемой.

Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы покидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть атомов находится в состоянии (+ S ), треть — в состоянии (0 S ) и треть — в состоянии (- S ). Для пребывающих в состоянии (+ S ) амплитуда пройти сквозь А есть <���χ| А |+ S >, а вероятность |<���χ| А |+ S >| 2. То же и для других. Общая вероятность тогда равна