Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Еще одно неприятное (но важное) замечание: коэффициенты R jiневозможно определить однозначно, потому что в амплитудах вероятностей всегда есть какой-то произвол. Если у вас есть ряд каких угодно амплитуд, скажем амплитуд прихода в некоторое место по целому множеству различных путей, и если вы помножите каждую отдельную амплитуду на один и тот же фазовый множитель, скажем на е iδ, то получится другая совокупность, которая будет ничуть не хуже первой. Значит, всегда можно произвольно изменить фазу всех амплитуд в любой задаче, если вы этого захотите.

Допустим, вы вычисляете некоторую вероятность, беря сумму нескольких амплитуд, скажем ( А + В + С +...), и возводя ее модуль в квадрат. Затем кто-то другой вычисляет то же самое, складывая амплитуды ( А '+ В '+ С '+...) и возводя их модуль в квадрат. Если все А ', В ', С ' и т. д. отличаются от А, В, С и т. д. только множителем е iδ, то все вероятности, получаемые возведением модуля в квадрат, окажутся в точности одинаковыми, потому что тогда ( А '+ В '+ С +...) равно e iδ( А + В + С +...). Или допустим, к примеру, что мы считали что-нибудь по уравнению (4.1), но затем внезапно изменили все фазы определенной базисной системы. Каждую из амплитуд < i |ψ> тогда пришлось бы умножить на один и тот же множитель е i δ. Точно так же изменились бы в e i δраз и все амплитуды , но амплитуды <���χ| i > комплексно сопряжены амплитудам < i |χ>; тем самым они приобрели бы множитель е - i δ. Плюс и минус i δ в экспонентах уничтожатся, и получится то же выражение, что было и раньше. Стало быть, общее правило таково, что изменение на одну и ту же фазу всех амплитуд по отношению к данной базисной системе или даже простое изменение всех амплитуд в любой задаче на одну и ту же фазу ничего не меняет. Значит, существует некоторая свобода в выборе фаз нашей матрицы преобразования. Мы то и дело будем прибегать к такому произвольному выбору, всегда следуя общепринятым соглашениям.

Рассмотрим опять «усовершенствованный» прибор Штерна— Герлаха, описанный в предыдущей главе. Пучок частиц со спином 1/ 2, входящих слева, расщепляется, вообще говоря, на два пучка, как показано схематически на фиг. 4.1.

Фиг. 4.1. «Усовершенствованный» прибор Штерна—Герлаха с пучками частиц со спином 1 / 2 .

(При спине 1 пучков было три.) Как и раньше, пучки в конце снова сводятся в одно место, если только один из них не будет перекрыт «перегородкой», которая перехватит его на полпути. На рисунке имеется стрелка, которая показывает направление роста величины поля, скажем положение магнитного полюса с острым наконечником. Эта стрелка пусть будет представлять собой на правление вверх для данного прибора. В каждом аппарате ее положение фиксировано, что позволяет указывать взаимную ориентацию нескольких приборов относительно друг друга. Наконец, предположим еще, что направление магнитного поля относительно стрелки во всех магнитах одинаково.

Будем говорить, что атомы из «верхнего» пучка находятся по отношению к этому прибору в состоянии (+), атомы из «нижнего» — в состоянии (-). (Нуль-состояния для спина 1/ 2не существует.)

Положим теперь, что мы поставили два наших усовершенствованных прибора Штерна—Герлаха один за другим фиг. 4.2, а ).

Фиг. 4.2. Два эквивалентных эксперимента.

Первый (назовем его S ) можно употребить на то, чтобы приготовлять чистое состояние (+ S ) или (- S ), загораживая то один, то другой пучок. [На рисунке приготовляется чистое состояние (+ S ).] При любом расположении всегда есть некоторая амплитуда того, что частица, выходящая из S , окажется в пучке (+ Т ) или (- Т ) второго прибора. Всего таких амплитуд четыре: амплитуды перехода от (+ S ) к (+ T ), от (+ S ) к (- Т ), от (- S ) к (+ Т ) и от (- S ) к (- T ). Эти амплитуды — просто четыре коэффициента матрицы преобразования R jiперехода от представления S к представлению Т . Можно считать, что первый прибор «приготовляет» определенное состояние в одном представлении, а второй «анализирует» это состояние в терминах второго представления. Мы хотим научиться отвечать на такие вопросы: если, загородив один из пучков в S , мы приготовили атом в данном состоянии, например в состоянии (+ S ), то каково будет изменение, которое он испытает, пройдя через прибор Т , который настроен на состояние (- T )? Результат, конечно, будет зависеть от углов между системами S и Т .

Мы должны объяснить, почему есть надежда найти коэффициенты R ji теоретически. Почти невозможно поверить, что если у частиц спин был выстроен в направлении +z, то есть хоть какой-то шанс обнаружить, что ее спин ориентирован в направлении + x или в каком-либо другом направлении. Это действительно почти невозможно. Но все же не совсем. Это настолько невозможно, что остается лишь один путь , каким это происходит, а если этот путь один, то его уже можно найти.

Первое рассуждение можно провести так. Предположим, что, как показано на фиг. 4.2, а , прибор Т направлен вверх под углом а относительно S . Пусть через S проходит только пучок (+), а через Т — только пучок (-). Мы измерили некоторую вероятность того, что частицы, выходя из S , пройдут сквозь Т . Теперь предположим, что мы делаем второе измерение прибором, показанным на фиг. 4.2, б. Относительная ориентация S и Т одинакова, но вся система расположена в пространстве под другим углом. Мы хотим предположить, что оба опыта приведут к одному и тому же значению вероятности того, что частица в чистом состоянии относительно S окажется в некотором определенном состоянии относительно Т . Иными словами, мы предполагаем, что результат любого опыта такого рода одинаков, что сама физика одинакова, как бы весь прибор ни был ориентирован в пространстве. (Вы скажете: «Это самоочевидно». Но это все же только предположение, и оно «правильно» только тогда, если так действительно бывает.) Это означает, что коэффициенты R ji зависят лишь от взаимного расположения S и Т в пространстве, а не от абсолютного их расположения. Выражаясь иначе, R ji зависит только от поворота , который переводит S в Т , потому что общим для фиг. 4.2, а и б , очевидно, является трехмерный поворот, переводящий прибор S в положение прибора Т . Когда матрица преобразования R ji зависит, как в нашем случае, только от поворота, ее называют матрицей поворота .