Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

а по отношению к T '

Но мы знаем, что должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т '! Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что λ пропорционально φ для любого угла φ. Поэтому всегда можно писать λ=mφ.

Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т , повернутого вокруг оси z относительно S на угол φ,

(4.17)

Для угла φ и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении z.

Теперь остается узнать, каким должно быть m . Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С ' += С +и С' -= С -, или, что то же самое, e im 2π=1. Мы получаем m =1. Это рассуждение не годится !

Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы m было равно единице, мы получили бы C ' += e i π C +=- C +и C ' -= e - i π C -=- C -. Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т ) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U . Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (- х ) начального прибора S . Так что состояние (+ x ) станет состоянием (- х ). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы m =1.

Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° ( и ни на какие меньшие углы ) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m = 1/ 2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол φ=360° [13] Конечно, подошло бы и m=- 1 / 2 . Однако из (4.17) ясно, что изменение знака просто переопределит понятие «спин вверх». . При этом будет

(4.18)

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю [14] Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от поворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно ). . Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С +и С -для частиц со спином 1/ 2по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т ( Т получается из S поворотом на φ относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так:

(4.19)

Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота Т (по отношению к S ) на 180° вокруг оси, перпендикулярной к оси z, скажем вокруг оси у . (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна—Герлаха и второй из них, Т , переворачивается относительно первого, S , «вверх ногами» (фиг. 4.6).

Фиг. 4.6. Поворот на 180° вокруг оси у.

Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+ S ) (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к T в минус -состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для S было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения S и Т преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что

(4.20)

где β и γ еще подлежат определению.

А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360°? Мы уже знаем ответ для поворота на 360° вокруг оси z: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360° вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на 360° должен быть таким же, как и при повороте на 360° вокруг оси z, —все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на 180° вокруг оси у по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,

и

(4.21)

Это означает, что

Следовательно, γ=-β+π, и преобразование для поворота на 180° вокруг оси у может быть записано так:

(4.22)