Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для гамильтониана с подходящей симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоянная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

(10.5)

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля . Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять Е 0=0. А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.

Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся два магнита с магнитными моментами μ е и μ р , то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от μ е · μ р. А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике называли μ е , в квантовой механике выступает под именем μ e σ e . Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как μ p , в квантовой механике обычно оказывается равным μ р σ р (где μ р — магнитный момент протона, который почти в 1000 раз меньше μ еи имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними. Но (10.5) может считаться (и на самом деле является ) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выражаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное что важно при этом то, что (10.5) — это правильная квантовомеханическая формула.

Порядок величины классического взаимодействия между двумя магнитами должен был бы даваться произведением двух магнитных моментов, деленным на куб расстояния между ними. Расстояние между электроном и протоном в атоме водорода, грубо говоря, равно половине атомного радиуса, т. е. 0,5Å. Поэтому можно примерно прикинуть, что постоянная А должна быть равна произведению магнитных моментов μ е и μ p , деленному на куб половины ангстрема. Такая пристрелка приводит к числам, попадающим как раз в нужный район. Но оказывается, что А можно подсчитать и аккуратней, стоит только разобраться в полной теории атома водорода, что нам пока не по силам. На самом деле А было подсчитано с точностью до 30 миллионных. Как видите, в отличие от постоянной переброса А молекулы аммиака, которую по теории невозможно хорошо подсчитать, наша постоянная А для водорода может быть рассчитана из более детальной теории. Но ничего не поделаешь, нам для наших теперешних целей придется считать А числом, которое может быть определено из опыта, и анализировать физику дела.

Взяв гамильтониан (10.5), можно подставить его в уравнение

(10.6)

и посмотреть, что делает спиновое взаимодействие с уровнями энергии. Для этого надо подсчитать шестнадцать матричных элементов H ij =< i | H | j >, отвечающих любой двойке из четырех базисных состояний (10.1).

Начнем с того, что подсчитаем, чему равно ^ Н | j > для каждого из четырех базисных состояний. К примеру,

(10.7)

Пользуясь способом, описанным немного раньше (вспомните табл. 10.1, она очень облегчит дело), мы найдем, что каждая пара σ делает с |++>. Ответ таков:

(10.8)

Значит, (10.7) превращается в

(10.9)

Таблица 10.2. СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА

А раз все наши четыре базисных состояния ортогональны, то это немедленно приводит к

Вспоминая, что Н | i >=< i | H | j > *, мы сразу сможем написать дифференциальное уравнение для амплитуды С 1:

(10.11)

или

Вот и все! Только один член.

Чтобы теперь получить оставшиеся уравнения Гамильтона, мы должны терпеливо пройти через те же процедуры с ^ H , действующим на другие состояния. Во-первых, попрактикуйтесь в проверке того, что все произведения сигм в табл. 10.2 написаны правильно. Затем с их помощью получите

(10.12)

И тогда, умножая их все по порядку слева на все прочие векторы состояний, мы получаем следующую гамильтонову матрицу H ij :

(10.13)

Это, конечно, означает, что дифференциальные уравнения для четырех амплитуд С i имеют вид

(10.14)

Но прежде чем перейти к их решению, трудно удержаться от того, чтобы не рассказать вам об одном умном правиле, которое вывел Дирак. Оно поможет вам ощутить, как много вы уже знаете, хотя нам в нашей работе оно и не понадобится. Из уравнений (10.9) и (10.12) мы имеем

(10.15)