Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Хотя производная dM z /dy в точке С равна нулю, производная dM z /dx будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси у течет ток огромной плотности. Это согласуется с нашим представлением о поверхностном токе, текущем вокруг цилиндра.

Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном случае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точке. Качественно нетрудно понять, что если в двух сосед­них областях намагниченность различная, то полной компен­сации циркулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим получить количественно.

Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы вы­яснили, что циркулирующий ток I создает магнитный момент

m=IА, (36.9)

где А— площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).

Фиг. 36.3. Дипольный момент m кон тура тока равен IA.

Рассмотрим маленький прямо­угольный кубик внутри намаг­ниченного материала (фиг. 36.4).

Фиг. 36.4. Небольшой намагничен­ный кубик эквивалентен циркули­рующему поверхностному току.

Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси z равна М z , то полный эффект будет таким, как будто по вертикальным граням течет поверх­ностный ток. Величину этого тока мы можем найти из ра­венства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен про­изведению намагниченности на объем:

m=M z (abc),

откуда, вспоминая, что площадь равна ас, получаем

I=М z b.

Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна М z .

Представьте теперь два таких маленьких кубика, располо­женных рядом друг с другом (фиг. 36.5).

Фиг. 36.5. Если на­магниченность двух соседних кубиков раз­лична, то на их гра­нице течет поверх­ностный ток.

Кубик 2 несколько смещен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компонента намагниченности будет немного другой, скажем M z+DМ z. Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику 1 в положительном направлении по оси у течет ток I 1, а по кубику 2 в отрицательном направлении течет ток I 2. Полный поверхностный ток в положительном направлении оси у будет равен сумме

I=I 1-I 2= М z b-(М z +D М z) b =-DM zb.

Величину D М г можно записать в виде произведения произ­водной от M z по х на смещение кубика 2 относительно кубика 1, которое как раз равно а:

DM z=( д M z/ д x)а. Тогда ток, текущий между двумя кубиками, будет равен

I=(- д M z/ д x)ab.

Чтобы связать ток I со средней объемной плотностью тока j, необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по некоторой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем мате­риала, то за такое сечение (перпендикулярное оси х) может быть выбрана боковая грань одного из кубиков. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади ab одной из фронтальных граней. В результате получаем

Наконец-то у нас начинает получаться ротор М.

Но в выражении для j y должно быть еще одно слагаемое, связанное с изменением x-компоненты намагниченности с изме­нением z. Этот вклад в jпроисходит от поверхности между двумя маленькими кубиками, поставленными друг на друга (фиг. 36.6).

Фиг. 36.6. Два кубика, распо­ложенных один над другим, то­же могут давать вклад в j y .

Воспользовавшись только что проведенными рассуждениями, мы можем показать, что эта поверхность будет давать в величину j yвклад, равный dM x /dz. Только эти поверх­ности и будут давать вклад в y-компоненту тока, так что пол­ная плотность тока в направлении оси у получается равной

Определяя токи на остальных гранях куба или используя тот факт, что направление оси z было выбрано совершенно произ­вольно, мы можем прийти к заключению, что вектор плотности тока действительно определяется выражением .

j= СX M.

Итак, если вы решили описывать магнитное состояние ве­щества через средний магнитный момент единицы объема М, то оказывается, что циркулирующие атомные токи эквивалент­ны средней плотности тока в веществе, определяемой выраже­нием (36.7). Если же материал обладает вдобавок еще диэлект­рическими свойствами, то в нем может возникнуть и поляри­зационный ток j пол =d P /dt. А если материал к тому же и про­водник, то в нем может течь и ток проводимости j пров. Таким образом, полный ток можно записать как

J = J пр o в+ СXM+ д P / д t; (36.10)

§ 2. Поле Н

Теперь можно подставить выражение для тока (36.10) в уравнение Максвелла. Мы получаем

Слагаемое с Мможно перенести в левую часть:

Как мы уже отмечали в гл. 32, иногда удобно записывать ( Е+ Р/e 0) как новое векторное поле D/e 0. Точно так же удобно ( В-М/e 0с 2) записывать в виде единого векторного поля. Такое поле мы обозначим через Н, т. е.