Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Рассмотрим теперь другой пример — горизонтальную трубу с переменным поперечным сечением (фиг. 40.9), по которой от одного конца к другому течет вода.

Фиг. 40.9. Там, где скорость повышается, давление пони­жается.

Сохранение энергии, а именно формула Бернулли, говорит, что в суженной области, там, где скорость выше, давление ниже. Мы можем легко про­демонстрировать этот эффект, измеряя давление в разных местах с различным сече­нием с помощью столбика воды, сообщающегося с потоком через достаточно малые отверстия, не возмущающие потока. При этом давление измеряется высотой вертикального столбика воды. И оно в узких местах действи­тельно оказывается меньше, чем в широких. Если после суже­ния площадь сечения возвращается к своей прежней величине — той, что была до сокращения, то давление снова возрастает. Формула Бернулли предсказывает, что давление до сужения должно быть тем же, что и после него, однако на самом деле оно заметно меньше. Ошибка нашего предсказания кроется в том, что мы пренебрегли трением, вязкой силой, которая вы­зывает падение давления вдоль трубы. Однако, несмотря на это падение, давление в узком месте определенно меньше (из-за возрастания скорости), чем по обеим сторонам от него, как это предсказал Бернулли. Скорость v 2должна превышать скорость v 1чтобы через сужение могло пройти то же количе­ство воды. Поэтому вода должна ускоряться, переходя из широкой части в узкую. Силы, которые приводят к этому ус­корению, и есть перепад дав­ления.

Этот результат можно про­верить с помощью еще одного простого опыта. Представьте, что у нас есть резервуар с водой и выходной трубой, которая выбрасывает струю воды вверх (фиг. 40.10).

Фиг. 40.10. Доказательство того что v не равно Ц2gh,

Если бы скорость истечения была в точности равна Ц2gh, то выходящая вода должна была бы подняться вплоть до уровня воды в резервуаре. Однако на опыте она начинает падать несколько ниже его. Наше приближение оказывается очень грубым; вязкое трение, которое мы не учли в нашей формуле для сохранения энергии, приводит к потере энергии. Пытались ли вы когда-нибудь, дунув между двумя слип­шимися листками бумаги, оторвать их друг от друга? Попытай­тесь! Они сойдутся вновь. Причина, разумеется, состоит в том, что воздух между листами имеет большую скорость, нежели когда он выходит наружу. Поэтому давление между листами ниже атмосферного, и они вместо того, чтобы разлететься в раз­ные стороны, соединятся.

§ 4. Циркуляция

В начале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удов­летворяет следующим двум уравнениям:

С·v=0, СXv=0. (40.19)

Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов дивергенция электрического поля равна нулю, а ротор электро­статического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю. Следовательно, уравнения (40.19) имеют такие же решения, как и уравнения для Ев электро­статике или уравнения для В в магнитостатике. Фактически в гл. 12, § 5 (вып. 5), мы уже решили задачу об обтекании сферы потоком в качестве электростатического аналога. Электростатическим аналогом является однородное электриче­ское поле плюс поле диполя, причем поле диполя подбирается таким, чтобы скорость потока, нормальная к поверхности сферы, была равна нулю. Задачу об обтекании цилиндра можно решить таким же способом, выбрав подходящее направление диполя относительно однородного потока. Эти решения спра­ведливы в тех случаях, когда скорость жидкости на больших расстояниях постоянна как по величине, так и по направлению. Они изображены на фиг. 40.11,а.

Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуля­ция вокруг цилиндра (б) и cy перпозuция случаев а и б (в).

Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11,6). У такого потока есть цирку­ляция вокруг цилиндра, хотя СXv в жидкости остается нулем. Но как циркуляция может существовать без ротора?

У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от v по замкнутой пет­ле, охватывающей цилиндр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от v по любому замкнутому пути, который не охватывает цилинд­ра, будет нулем. Аналогичные вещи встречались нам и рань­ше, когда мы определяли маг­нитное поле вокруг проводника. Ротор В был нулем вне провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуля­ции вокруг цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг провода. Для кругового пути с центром, совпадаю­щим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорос­ти равен

Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от r. Обозначим его через постоянную С и получим

где v — тангенциальная скорость, а r — расстояние от оси. Существует очень хороший способ демонстрации циркуля­ции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резервуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного раскручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый эффект, который показан на фиг. 40.12.

Фиг. 40.12. Вода с циркуляцией вытекает из резервуара.

(Подобное явление вы наверняка много раз видели в ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость w, она из-за вязкости вскоре затухает и поток становится безвихревым. Однако ка­кая-то циркуляция вокруг трубки все же остается.

Из теории можно вычислить форму по­верхности воды в цилиндре. По мере того как частицы движутся внутрь, они набирают скорость. Согласно уравнению (40.20), тан­генциальная скорость увеличивается как 1/r — просто благодаря закону сохранения момента количества движения, как у фигуриста, при­жавшего руки к телу. Радиальная скорость тоже возрастает как 1/r. Если пренебречь тангенциальным движением, то полу­чится, что вода идет внутрь по радиусу к отверстию, а из урав­нения С·v=0 следует, что радиальная скорость пропорцио­нальна 1/r. Таким образом, полная скорость тоже возрастает как 1/г и вода идет по спирали Архимеда. Поверхность вода — воздух целиком находится под атмосферным давлением, так что, согласно уравнению (40.14), она должна обладать свойством