Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

F(x-ct)=e i w ( t - x / c ) и F(-х-ct)=e i w a ( t + x / c ) .

Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и положить х=0, то в любой момент времени t переме­щение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде:

y=e i w t (e -i w x/c -e i w x/c )=-2ie i w t sin(wx/c). (49.3)

Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любую точку х нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой w. Совершенно неважно, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где sin (wx/c)=0), которые вообще не перемещаются. Более того, если в любой момент времени t сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет зависеть от времени t. Из выражения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла сину­соидальной волны равна длине какой-либо из волн;

l=2pc/w. (49.4)

Неподвижные точки удовлетворяют условию sin(wx/c)=0, которое означает, что wx/c=0, p, 2p, ..., np, ... . Эти точки на­зываются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз, но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная харак­теристика того, что называется собственным колебанием, гармоникой или модой. Если движение обладает тем свой­ством, что каждая точка предмета движется строго синусои­дально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, больше, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием.

§ 2. Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты

Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, скажем в точках x=0 и x=L? Давайте начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегося в одном направлении. С тече­нием времени этот горб подойдет к одному концу струны и в конце концов превратится в небольшой всплеск, поскольку здесь он складывается с перевернутым ответным горбом, идущим с другой стороны. Наконец первый горб совсем исчезнет, а в обратном направлении побежит другой, «ответный» горб, и весь процесс повторится уже на другом конце. Как видите, задача решается совсем просто, впрочем здесь возникает интересный вопрос: можно ли в этом случае получить синусоидальную вол­ну (только что описанное решение периодично, но, разумеется, не синусоидально периодично). Давайте попытаемся «вставить» в нашу струну синусоидально периодическую волну. Если один конец струны закреплен, то мы знаем, что должно полу­читься нечто похожее на наше предыдущее решение (49.3). Но то же самое должно получиться и у второго конца, ведь он тоже закреплен. Поэтому единственная возможность полу­чить периодическое синусоидальное движение—это взять волну, которая в точности укладывается на длине струны. В против­ном случае мы не получим собственной частоты, с которой струна могла бы продолжать свои колебания. Короче говоря, если по струне пустить синусоидальную волну, которая в точности укладывается на ее длине, то она сохраняет свою идеальную синусообразную форму и будет гармонически колебаться с не­которой частотой.

Математически мы можем задать форму волны в виде функ­ции sinkx, где k=w/c, как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при х=0, однако то же условие должно выполняться и на другом конце струны. Дело в том, что k уже не будет произвольным, как в случае полуограниченной струны. Оба конца могут быть закреплены при одном-единственном условии, что sinkL=0. Но чтобы синус был равен нулю, его угол должен быть кратен целому числу p, например 0, p, 2p и т. д. Поэтому уравнение

kL =np (49.5)

в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел k. При этом каждому числу k соответствует частота w, которая по формуле (49.3) равна просто

w=kc=npc/L. (49.6)

Итак, мы нашли, что синусоидальные колебания струны могут происходить только с некоторыми определенными часто­тами. Это — наиболее важная характеристика волн в ограни­ченной области. Сколь бы сложна ни была система, всегда ока­зывается, что в ней могут быть чисто синусоидальные колеба­ния, но частота их определяется свойствами данной системы и природой ее границ. В случае струны возможно множество раз­личных частот, каждой из которых соответствует определенное собственное колебание — движение, синусоидально повторяющее самое себя.

На фиг. 49.2 показаны первые три собственные гармоники нашей струны.

Фиг. 49.2. Первые три гар­моники колеблющейся струны.

Длина волны l первой из них равна 2L. В этом легко убедиться, продолжив волну до точки x=2L и получив полный цикл синусоидальной волны. Угловая частота w равна в общем случае 2pc, деленному на длину волны К, а поскольку сейчас у нас l= 2L, то частота будет равна pс/b, что согласуется с формулой (49.6) при n=1. Обозначим эту частоту через w 1Следующая собственная гармоника напоми­нает бантик из двух петель с узлом посредине. Ее длина просто равна L. Соответствующая величина k, а следовательно, и ча­стота w должны быть вдвое большими, т. е частота равна 2w 1. Частота третьей собственной гармоники оказывается рав­ной Зw 1и т. д. Таким образом, различные собственные гармо­ники кратны целому числу низшей частоты w 1т. е. w 1, 2 w 1 , Зw 1и т. д.

Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одно­временное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения долж­но быть одновременно возбуждено бесконечное число собствен­ных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых соб­ственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки вре­мени на протяжении полуцикла низшей частоты.

Предположим теперь, что одновременно с первой собствен­ной гармоникой работает и вторая. Последовательные положе­ния струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но ско­рости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет реше­нием. Поэтому перемещения, полученные сложением двух ре­шений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным ре­шением