Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложе­нии бегущую волну.

На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить доста­точно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гла­сит:

Любое движение можно рассматривать как составленное из различных собственных гармоник, взятых с надлежащими ам­плитудами и фазами.

Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каж­дое собственное колебание — очень простая вещь — это просто синусоидальное движение во времени. По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; суще­ствует движение куда более сложное, скажем такое, как виб­рация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев само­лета можно обнаружить некие собственные кручения с опре­деленными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).

§ 3. Двумерные собственные колебания

Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колеба­ний. Возьмем для большей определенности прямоугольный ре­зиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут

равны а и 6, как это показано на фиг. 49.4.

Фиг. 49.4. Колебание прямо­угольной пластинки.

Прежде всего, каковы ха­рактеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со стру­ной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некото­ром направлении, например синусоидальной волны, опи­сываемой функцией ехр(iwt) ехр[- i(k ч x)+i(k y y)], направле­ние движения которой зависит от относительной величины чисел k x и k y . А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при y=0? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией

-exp(iwt)ехр[- i(k x x)-i(k y y)].

Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое переме­щение при y=0 независимо от того, каковы будут значения х и t. (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться не­чему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=0, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.

Однако нам нужно получить узел не только на линии y=0, но и на линии у=b. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при y=0, могут сделать то же самое и при у=b, только когда 2b sin 0 равно целому числу длин волн l, (q — угол, пока­занный на фиг. 49.4):

ml=2bsinq, m=0, 1, 2, .... (49.7)

Точно таким же образом, т.е. сложением еще двух функций [-exp (iwt)]exp[i(k x x)+ i(k y y)] и [+ exp(ict)}exp[i(k x x)-i(k y y)], каждая из которых представляет отражение другой от линии х=0, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия х=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=b, т. е. 2acosq должно быть равно целому числу длин волн:

nl = 2acosq. (49.8)

Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.

Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Ис­ключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол q, можно выразить длину волны через a, b, n и т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на 2b и 2a, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение

sin 2q+cos 2q =1=(nl/2a) 2+(ml/2b) 2,

которое легко разрешить относительно l:

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту w, ибо, как известно, частота равна 2pc, деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необхо­димо теперь получить его строго математически без использо­вания аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким обра­зом, чтобы все четыре линии x=0, х=а, y =0 и у=b были узло­выми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iwt)exp[- i(k x x)+i(k y y)] опи­сывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k =w/c, с той разницей, что теперь

k 2=k 2 x+k 2 y. (49.10)

Из рисунка ясно, что k x =kcos q , a k y =k sinq.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямо­угольной перепонки барабана (назовем это перемещение j запишется в виде

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспо­нент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направ­лении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x= 0 и y=0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хо­тим, кроме того, чтобы j обращалось в нуль при х=а и у=b. Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно k x a и k x b должны быть равны целому числу p (эти це­лые числа могут быть разными для k x a и k y b!). Но поскольку, как мы видели, k x =k cosq и k y =k sinq, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует оконча­тельный результат (49.9).