Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты

Вы могли по ходу дела заметить, что движение зарядов в пла­стинке вызывает еще один эффект. Это движение создает волну, распространяющуюся назад в направлении источника S. Такая обратно движущаяся волна есть не что иное, как луч света, отраженный прозрачным материалом. Приходит он не только с поверхности. Отраженное излучение генерируется во всех точках внутри материала, но суммарный эффект эквивалентен отражению с поверхности. Учет отражения лежит за границами применимости настоящего приближения, в котором показатель преломления считается настолько близким к единице, что от­раженным излучением можно пренебречь.

· · ·

Прежде чем перейти к изучению показателя преломления, следует подчеркнуть, что в основе явления преломления лежит тот факт, что кажущаяся скорость распространения волны раз­лична в разных материалах. Отклонение луча света есть след­ствие изменения эффективной скорости в разных материалах.

Фиг. 31.2. Связь между прелом­лением и изменением скорости.

Чтобы пояснить этот факт, мы отметили на фиг. 31.2 ряд после­довательных максимумов в амплитуде волны, падающей из ва­куума на стекло. Стрелка, перпендикулярная указанным мак­симумам, отмечает направление распространения волны. Всюду в волне колебания происходят с одной и той же частотой. (Мы видели, что вынужденные колебания имеют ту же частоту, что и колебания источника.) Отсюда следует, что расстояния между максимумами волн по обе стороны поверхности совпадают вдоль самой поверхности, поскольку волны здесь должны быть согла­сованы и заряд на поверхности колеблется с одной частотой. Наименьшее расстояние между гребнями волн есть длина волны, равная скорости, деленной на частоту. В вакууме длина волны равна l 0=2pс/w, а в стекле l=2pv/w или 2pс/wn, где v=c/n— скорость волны. Как видно из фиг. 31.2, единственный способ «сшить» волны на границе состоит в изменении направления движения волны в материале. Простое геометрическое рассуж­дение показывает, что условие «сшивания» сводится к равен­ству l 0/sin q 0=l/sinq, или sinq 0/sinq=n, а это и есть закон Снелла. Пусть сейчас вас больше не волнует само отклонение све­та; нужно только выяснить, почему же в самом деле, эффектив­ная скорость света в материале с показателем преломления n равна с/n?

· · ·

Вернемся снова к фиг. 31.1. Из сказанного ясно, что нужно вычислить поле в точке Р от осциллирующих зарядов стеклян­ной пластинки. Обозначим эту часть поля, которая представ­ляется вторым членом в равенстве (31.2), через Е а. Добавляя к ней поле источника E s, получаем полное поле в точке Р.

Стоящая перед нами здесь задача, пожалуй, самая сложная из тех, которыми мы будем заниматься в этом году, но сложность ее заключается только в большом количестве складываемых членов; каждый член сам по себе очень прост. В отличие от дру­гих случаев, когда мы обычно говорили: «Забудь вывод и смотри только на результат!», теперь для нас вывод гораздо важнее результата. Другими словами, нужно понять всю физическую «кухню», с помощью которой вычисляется показатель прелом­ления.

Чтобы понять, с чем мы имеем дело, найдем, каким должно быть «поправочное поле» Е а, чтобы полное поле в точке Р вы­глядело как поле источника, замедлившееся при прохождении через стеклянную пластинку. Если бы пластинка никак не влияла на поле, волна распространялась бы направо (по оси

2) по закону

(31.3)

или, используя экспоненциальную запись,

(31.4)

А что произошло бы, если бы волна проходила через пластин­ку с меньшей скоростью? Пусть толщина пластинки есть Dz. Если бы пластинки не было, то волна прошла бы расстояние Dz за время Dz/c. А поскольку кажущаяся скорость распростра­нения есть c/n, то потребуется время nDz/c, т. е. больше на не­которое добавочное время, равное Dt=(n-l) Dz/c. За пластин­кой волна снова движется со скоростью с. Учтем добавочное вре­мя на прохождение через пластинку, заменив t в уравнении (31.4) на (t-Dt), т. е. [t-(n-1)Dz/c]. Таким образом, если по­ставить пластинку, то формула для волны должна приобрести

(31.5)

Эту формулу можно переписать еще и по-другому:

(31.6)

откуда заключаем, что поле за пластинкой получается умноже­нием поля, которое было бы при отсутствии пластинки (т. е. E s), на ехр[-iw(n-1)Dz/c]. Как мы знаем, умножение осцилли­рующей функции типа e i w tна е i qозначает изменение фазы коле­баний на угол q, возникающее из-за задержки при прохождении пластинки. Фаза запаздывает на величину w(n-1)Dz/c (именно запаздывает, поскольку в экспоненте стоит знак минус).

Мы говорили раньше, что пластинка добавляет поле Е ак первоначальному полю E S=E 0ехр[iw(t-z/c)], а вместо этого нашли, что действие пластинки сводится к умножению поля на фактор, сдвигающий фазу колебаний. Однако здесь нет противоречия, поскольку тот же результат можно получить, приба­вив подходящее комплексное число. Это число особенно просто найти для малых Dz, так как е хпри малых x с большой точностью равно (1+x).

Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.

Тогда можно записать

(31.7)

Подставляя это равенство в (31 6), получаем

(31.8)

Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Е а— полю, создаваемому осцилли­рующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Е авыражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.

· · ·

Смысл сделанных преобразований легче всего понять с по­мощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3). Отло­жим сперва E s(z и t выбраны на рисунке такими, что E s лежит на действительной оси, но это не обязательно). За­держка при прохождении пластинки приводит к запаздыва­нию фазы E s, т. е. поворачивает E sна отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Е а, направленный почти под прямым углом к E s. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действитель­ном E sвеличина Е аотрицательная и мнимая, а в общем случае E sи Ё аобразуют прямой угол.