Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

Давайте изучим некоторые свойства линейных дифферен­циальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо зна­комом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свой­ство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравне­ние для переходных движений: свободных колебаний без дейст­вия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение

L(x)=0. (25.5)

Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравне­ние и нашли его частное решение х 1 . Это значит, что нам из­вестна функция x 1, для которой L(x 1)=0. После этого можно за­метить, что ax 1 — тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное решение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если какое-либо ре­шение позволяет частице продвинуться на определенное рас­стояние, то она может совершить и более длинный рейс. Дока­зательство: L(ax 1 )=aL(x 1 )=a · 0=0.

Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение x 1 , но и второе х 2 (напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли x =exp(iat), то мы нашли два значения a, т. е. два решения: x 1 и х 2 ). Пока­жем теперь, что комбинация x 1 +x 2 — тоже решение. Иными словами, если положить x=x 1 +x 2 , то х — это опять решение уравнения. Почему? Потому что если L(x 1 )=0 и L(x 2 )= 0, то L(x t +x 2 )=L(x 1 )+L(x 2 ) =0+0=0. Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения ли­нейной системы.

Продолжая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если x 1 есть решение, то ax 1— тоже решение. Другими словами, любая сумма двух решений, на­пример ax 1+bx 2, удовлетворяет уравнению. Если нам посча­стливится найти три решения, то мы увидим, что любая комби­нация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми реше­ниями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифферен­циального уравнения второго порядка имеются лишь два неза­висимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

L(x)=F(t) (25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо x Д, т. е. L(x Д )=F(t). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x 1. Тогда, вспомнив о (25.3), получим

L(x Д +x l )=L(x Д )+L(x 1 )=F(t)+0=F(t). (25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное ре­шение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусо­идальным) решением: сначала к нему будут примешиваться пе­реходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это бу­дет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включе­нию силы.

§ 2. Суперпозиция решений

Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предполо­жим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила F a (например, периодическая сила с частотой w=w а, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учи­тывать, это неважно). Пред­положим, что мы решили еще одну задачу — нашли движе­ние в случае действия силы F b . После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной за­дают задачу с силой F a +F b . Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма реше­ний х а и х b , получаемых в том случае, если брать силы по от­дельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):

L(x a +x b )=L(x a )+L(x b )=F a (t)+F b (t). (25.8)

Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и это очень важная вещь. Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы не­скольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первона­чальное уравнение, потому что для этого надо просто объеди­нить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1).

Фиг. 25.1. Пример принципа суперпозиции для линейных си­стем.

Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из за­конов электричества. Если нам задано распределение зарядов q a , можно найти электрическое поле Е в, порождаемое этими заря­дами в точке Р. Другое распределение зарядов q b порождает в этой же точке поле E b. Оба эти распределения, действуя вме­сте, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сумму полей Е аи Е b. Иначе говоря, поле, соответствующее совокуп­ности многих зарядов,— это векторная сумма полей, соответ­ствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим приме­ром бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.

Фиг. 25.2. Принцип суперпо­зиции в электростатике.

Причина справедливости принципа суперпозиции в электри­честве состоит в том, что основные законы электричества, опреде­ляющие электрическое поле (уравнения Максвелле), — это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свойством (25.3). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды, порождающие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.