Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

Все, что мы знаем об уравнении (25.14), можно применить и к уравнению (25.15). Переносится каждое следствие; анало­гов так много, что с их помощью можно сделать замечательные вещи.

Предположим, что мы натолкнулись на очень сложную механическую систему: имеется не одна масса на пружинке, а много масс на многих пружинках, и все это перепутано. Что нам делать? Решать уравнения? Можно и так. Но попробуем соб­рать электрическую цепь, которая будет описываться теми же уравнениями, что и механическое устройство! Если мы собрались анализировать движение массы на пружинке, почему бы нам не собрать цепь, в которой индуктивность пропорциональна массе, сопротивление пропорционально тg, 1/С пропорциональ­но k? Тогда электрическая цепь, конечно, будет точным анало­гом механического устройства в том смысле, что любой отклик q на V (V соответствует действующей силе) в точности соответст­вует отклику х на силу! Перепутав в цепи великое множество сопротивлений, индуктивностей и емкостей, можно получить цепь, имитирующую сложнейшую механическую систему. Что в этом хорошего? Каждая задача, механическая или электриче­ская, столь же трудна (или легка), как и другая: ведь они в точ­ности эквивалентны. Открытие электричества не помогло решить математические уравнения, но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изменять ее параметры.

Предположим, что мы построили автомобиль и хотим узнать, сильно ли его будет трясти на ухабах. Соберем электрическую цепь, в которой индуктивности скажут нам об инерции колес, об упругости колес представление дадут емкости, сопротивле­ния заменят амортизаторы и т. д. В конце концов мы заменим элементами цепи все части автомобиля. Теперь дело за ухабами. Хорошо, подадим на схему напряжение от генератора — он смо­жет изобразить любой ухаб; измеряя заряд на соответствую­щем конденсаторе, мы получаем представление о раскачке колеса. Измерив заряд (это сделать легко), мы решим, что авто­мобиль трясет слишком сильно. Надо что-то сделать. То ли ос­лабить амортизаторы, то ли усилить их. Неужели придется переделывать автомобиль, снова проверять, как его трясет, а потом снова переделывать? Нет! Просто нужно повернуть ручку сопротивления: сопротивление номер 10 — это аморти­затор номер 3; так можно усилить амортизацию. Трясет еще сильнее — не страшно, мы ослабим амортизаторы. Все равно трясет. Изменим упругость пружины (ручка номер 17). Так мы всю наладку произведем с помощью электричества, много­кратным поворотом ручек.

Вот вам аналоговая вычислительная машина. Так называют устройства, которые имитируют интересующие нас задачи, описываемые теми же уравнениями, но совсем другой природы. Эти устройства легко построить, на них легко провести измере­ния, отладить их, и... разобрать!

§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления

Обсудим, наконец, еще один важный вопрос, хотя он не сов­сем подходит по теме. Что делать с электрической цепью, если в ней много элементов? Например, когда индуктивность, сопротив­ление и емкость соединены, как показано на фиг. 24.2 , то все заряды проходят через каждый из трех элементов так, что связывающий элементы ток во всех точках цепи одинаков. Поскольку ток всюду одинаков, падение напряжения на соп­ротивлении равно IR , на индуктивности равно L(dI/dt) и т. д. Полное падение напряжения получается суммированием частичных падений, и мы приходим к уравнению (25.15). Исполь­зуя комплексные числа, мы решили это уравнение в случае равновесного отклика на синусоидальную силу. Мы нашли, что V=ZI (Z называется импедансом цепи). Зная импеданс, легко найти ток в цепи I, если к цепи приложено синусоидальное нап­ряжение V.

Предположим, что нужно собрать более сложную цепь из двух кусков, импедансы которых равны Z 1и Z 2; соединим их по­следовательно (фиг. 25.6, а) и приложим напряжение.

Фиг. 25.6. Импедансы, соеди­ненные последовательно (а) и па­раллельно (б).

Что слу­чится? Задача немного сложнее предыдущей, но разобраться в ней нетрудно: если через Z 1течет ток I 1, то падение напряже­ния на Z 1равно V 1=IZ 1, а падение напряжения на Z 2будет V 2= IZ 2. Через оба элемента цепи течет одинаковый ток. Пол­ное падение напряжения вдоль такой цепи равно V=V 1+V 2=(Z 1+Z 2)I. Таким образом, падение напряжения в такой цепи мощно записать в виде V=IZ s, a Z s — импеданс системы, состав­ленной из двух последовательно соединенных элементов, равен сумме импедансов отдельных элементов

Z s=Z 1+Z 2. (25.16)

Но это не единственный способ решения вопроса. Можно со­единить отдельные элементы параллельно (фиг. 25.6,б). При та­ком соединении, если соединительные провода считать идеаль­ными проводниками, к обоим элементам приложено одинаковое внешнее напряжение, а сила тока в каждом элементе не зависит от другого элемента. Ток через Z 1равенI 1=V/Z 1, ток в Z 2равен / 2=V/Z 2. Напряжение в обоих случаях одинаково. Полный ток через концы цепи равен сумме токов в отдельных частях цепи:

I=V/Z 1+V/Z 2. Это можно записать и так:

Таким образом,

Многие сложные цепи иногда становятся более понятными, если расчленить их на куски, выяснить, чему равны импедансы отдельных частей, а затем шаг за шагом следить за соединением частей, помня о только что выведенных правилах. Если мы соб­рали цепь из большого числа произвольно соединенных эле­ментов и создаем в этой цепи разности потенциалов при помощи небольших генераторов, импедансом которых можно пренебречь (когда заряд проходит через генератор, то потенциал возрастает на V), то при анализе цепи можно использовать такие правила:

1) сумма токов, протекающих через любое соединение, равна нулю; ведь притекший к любому соединению ток должен обязательно вытечь из него;

2) если заряд, двигаясь по замкнутой петле, вернулся в то место, откуда начал путешествие, полная работа должна быть равна нулю.

Эти правила называются законами Кирхгофа. Систематиче­ское применение этих правил часто облегчает анализ работы сложных цепей. Мы к ним вернемся, когда будем говорить о законах электричества.