Джон Райт - Золотая Трансцендентальность

"Во всех областях превосходили нас безмерно. Почему мы замолчали? Потому что сказать нечего было." Молчаливый скромничал. В Солнечной Системе умные Софотеки до сих пор занимают кварталы городов, а у Лебедя их настолько ужали, что и в серёжках носят, и даже мочки не отрываются. "Мы носили Софотеков на манжетах и на воротниках, в серьгах и на карнавальных масках." Хвастовство не пустое: "крошечная, микроскопическая системка вычисляла не хуже компьютерной горы."

Россказни Молчаливого, конечно, лживые — но на чистую воду пришельца выводят небезупречно:

"Если у них в Утопии всё так хорошо и вольно, то почему бы не нанять вместо непослушного Софотека нового?" Про небескрайность рынка труда Аткинс удобно забыл. Златоойкуменная привычка, вестимо.

Но то — мелочи. Нужно сказать про главное — про "надрациональную" и прочие математики.

Вкратце — я не против идеи "другой" математики, но преподана в книге она никудышно.

("Другой" в смысле "пока ещё неизвестной", не просто "другой." Тут легче разобраться с настоящим миром, чем выяснять, какие таблицы умножения даже в рамках фантастического допущения недопустимы.)

Я не уверен, что другой, лучшей математики нет. Может она быть. Простейший пример — два карапуза. Один умеет считать до пяти, другой — до шести. Налицо превосходство одного математического аппарата, второму недоступного. Когда-то жили-не тужили, не зная и даже представить не мо́гучи пользы и отрицательных чисел, и чисел комплексных, и логарифмов, и нуля, и функционального анализа, и много чего ещё.

Я и представить не могу, что именно изменится в картине мира с появлением новой математической области.

Но я убеждён — не сотрясти основы мысли этим:

"0/0 Ноль, делённый на ноль. ∞/∞ Бесконечность, делённая на бесконечность. 0*∞ Ноль, умноженный на бесконечность. 1^∞ Единица в бесконечной степени. 0^0 Ноль в нулевой степени. ∞^0 Бесконечность в нулевой степени. ∞-∞ Бесконечность минус бесконечность."

И это из "лучшего предполагаемого перевода"! Неужели к переводу предсмертной записки братского народа Золотая Ойкумена подошла настолько спустя рукава? Неужто ни одного математика в цивилизации, которая на 90 % математикой занимается, к переводу не привлекли? Или Молчаливые решили обращать в абсурд своей веры нарочно никуда не годными доводами?

Да даже первокурсник справится скопить стипендий на бумагу, ручку и радиолазерную передачу, чтобы сочинить ответ:

Молчаливые! Молчали бы дальше! Бесконечность — не число, а символ. Можно писать выражения типа "0*∞ = ы" сколько душе угодно — но не будет в них полезного смысла, если они не согласуются со свойствами арифметических действий. Приписать значение нулю, делённому на ноль — не то же самое, что выдумать корень из минус единицы, поскольку мнимая единица дополняет набор чисел, и вписывается в набор арифметических операций, а ноль, делённый на ноль — это на самом деле ноль, умноженный на обратный к нулю элемент, а существование обратного к нулю числа противоречит самому смыслу нуля как нейтрального по сложению элемента поля. Смотрите учебник высшей алгебры за первый курс, темы: "Группы", "Кольца", "Поля".

Операция может быть определена не на всём множестве — но это не признак её слабости.

Ей-богу, вы бы ещё предложили существование всюду непрерывной всюду недифференцируемой функции обосновывать задачкой про брадобрея, который бреет всех тех, кто сам себя не бреет.

Впрочем: "даже младшеклассник увидел бы логические дыры в его философии."

Да, допустим. Вполне возможно, что Последнее Послание написано в ключе "веруй, ибо абсурдно". Выходка в духе Молчаливых. Но, хотя Молчаливые и не отличились честностью и ясным умом, из сюжета следует, что надрациональная математика — не выдумка, и объяснить её дельно Фаэтону таки попытались:

"Соседнее зеркало усеяли формулы и неевклидовы чертежи. Выкладки начинались с утверждения о нетождественности единиц и утверждением о эквивалентности единицы и бесконечности."

"Фаэтон, насупив брови, их просмотрел. Доказательства друг другу не противоречили, несмотря на бредовое предположение, и, если взять не равную себе бесконечность конечной, получалась математика привычная."

"По Гёделю пустое множество получается. Если перенумеровать строчки доказательства и сопоставить им значения твоих номерных строк, тогда первая же твоя лемма всё опровергает — получается множество с отрицательным числом элементов."

"Lines of mathematical symbols appeared on a nearby mirror, and images from non-Euclidean geometry. The mathematics started from the premise of the nonidentity of unity, and a unity-to-infinity equivalence."

"Phaethon frowned at them. The proofs had an internal self-consistency, granting the absurd premise, and normal mathematics was made a subset of this system by assuming a condition where infinity, by not equaling itself, was finite…"

"The whole thing forms a Goedelian null-set. If I numbered the lines of the proof and assign numbers from your number lines to them, by the lemma of your first proof, the proof itself disproves itself, and you get a set with fewer than no members."

Так лучше — правила Лопитала в голову не лезут, да и строчки возможных доказательств действительно, бывает, нумеруют — но так тоже из рук вон плохо.

Мы, для начала, толком и не сошлись во мнении, на чём математика стоит. Как тут ей опоры шатать, если опор нет? Философами от математики выдуманы, как минимум: логицизм, формализм, интуиционизм, натурализм, номинализм, структурализм — и все в различных личных изводах. Математики от математики об прочности оснований собственной науки особо не переживают, а в обычных учебниках дном служат "неопределяемые" понятия множества и функции, при этом ожидается, что студент не лишён логики, готов принимать, хоть и на время, любые аксиомы, не обращая внимания на смысл, и без мировоззренческих сомнений способен досчитать от нуля до бесконечности. А объясняют ученикам всё это образным размахиванием руками и просьбой что-либо "представить".

Условно говоря, обычные люди пользуются всем понемногу — и логикой бытовой, и формальной, и наработанной, и образами представленными и подсмотренными, и понятиями всеми понятными, но объяснениям не поддающимся — а идейные пытаются растянуть любимую ипостась вместо всего фундамента — с переменными, но невеликими успехами. Строго логический вывод равенства "1+1=2" и сопутствующих понятий занял толстенный талмуд. Передоказательство математики без использования непонятного закона исключённого третьего тоже ушло недалеко.

Что предлагает Молчаливый? "Картинки из неевклидовых геометрий" — которые, спору нет, красивые, но испытание ими царица наук уже век как пережила — и "эквивалентность единицы (или же целого) и бесконечности".

Нет в основаниях математики никакой "бесконечности". Да и "единиц" тоже толком нет. Даже сегодня основания начинаются глубже — от понятий, опять же, функции и множества. Бесконечность — не число. "Бесконечность" — свойство множества. Значит — множество можно взаимно однозначно сопоставить с собственным подмножеством. Бесконечность бесконечности рознь, как понятием мощности множества показал Кантор.