Александр Волошинов - Математика и искусство

Пидоу Д. Геометрия и искусство.- М.: Мир, 1979.

Раушенбах Б. В. Пространственные построения в древнерусской живописи.- М.: Наука, 1975.

Раушенбах Б. В. Пространственные построения в живописи.- М.: Наука, 1980.

Раушенбах Б. В. Системы перспективы в изобразительном искусстве: Общая теория перспективы.- М.: Наука, 1986.

Рынин Н. А. Начертательная геометрия. Перспектива.- Петроград, 1918.

Тадеев В. А. От живописи к проективной геометрии.- Киев: Выща школа, 1988.

Федоров М. В. Рисунок и перспектива.- М.: Искусство, 1960.

Фролов С. А., Покровская М. В. Начертательная геометрия: что это такое? — Минск, Вышэйшая школа, 1986.

В более распространенной русской транскрипции Инь-Ян теряется графическая симметрия (а значит, отчасти и философия) двух древнекитайских первоначал.

Слова "прекрасное" и "красота" мы употребляем в широком смысле как синонимы.

Дискурсия (лат. discursus) — рассуждение.

Кант безвыездно прожил всю свою долгую жизнь в родном Кенигсберге (ныне г. Калининград), учился в Кенигсбергском университете, затем стал его профессором, читал в нем только курсы философии, эстетики, истории, филологии, но и математики, физики, астрономии, космогонии и даже Фортификации. Всю свою жизнь этот "всеобъемлющий гений" посвятил науке, отказавшись от личной жизни и даже поездок в другие города.

За многие века система Птолемея была настолько хорошо разработана, что ею продолжали пользоваться и после Коперника. Ведь система Коперника, до тех пор пока она не подверглась математической обработке и ряду уточнений,имела только мировоззренческое значение.

3десь Вольтер (1694-1778) и Жан-Жак Руссо (1712-1778)для Блеика прежде всего не писатели, а философы и ученые-энциклопедисты, просветители.

Как стало известно впоследствии, "инженер Полетаев" оказался вымышленным персонажем. Его придумал поэт М. Светлов и для обострения полемики умышленно поставив на самые крайние позиции. Мистификация М. Светлова оказалась удачной.

Порфирий приводит любопытный эпизод. Проведуя вегетарианство, Пифагор тем не менее посоветовал самосскому атлету Евримену ежедневно питаться мясом, а не сыром и смоковами, как это делали остальные спортсмены. Евримен последовал Пифагоровой мудрости — набрался сил и, несмотря на свой малый рост, одержал победу в борьбе на Олимписких играх.

Известна легенда, рассказывающая, что однажды, увидев, как били собаку, Пифагор сказал: "Перестаньте ее бить, в этой собаке живет душа моего друга: я узнал его по голосу".

Некоторые отголоски пифагорейской числовой мистики мы встречаем и в наши дни: например, обычай дарить нечетное число цветов (четное число у пифагорейцев считалось несчастливым).

Вот это доказательство. Допустим противное, т. е пусть = m/n или m 2= 2n 2, причем натуральные числа m и n не имеют oбщих делителей, кроме единицы, так как если бы они существовали, то на них дробь можно было бы сократить. Если m — нечетное число, мы получаем противоречие, так как 2n 2четно, а квадрат нечетного числа — число нечетное. Еcли m четно и равно 2k, то 4k 2= 2n 2, или 2k 2= n 2так что n должно быть четным и, следовательно, числа m и n имеют общий делитель 2, что противоречит начальному предположению. Итак, не является отношением двУх натуральных чисел

В теории музыки понятия интервала и интервального коэффициента строго не разграничены. Следуя традиции, мы часто для краткости будем называть интервальный коэффициент интервалом.

Характер звучания лада, конечно, не определяется столь грубо и однозначно. Вопрос этот очень деликатный, и о нем мы еще поговорим в конце главы.

Судьба Алексея Федоровича Лосева счастлива и трагична. Счастлива, потому что до последнего дня своей 95-летней жизни Лосев сохранил поразительную работоспособность и успел завершить главный труд — восьмитомную "Историю античной эстетики". Трагична, потому что другие восемь томов его сочинений, написанных на полвека ранее (1927 — 1930), были преданы анафеме, а сам автор, будучи незаконно репрессирован, продолжил свои философские изыскания на строительстве Беломорско-Балтийского канала, откуда он писал: "Я закован в цепи, когда в душе бурлят непочатые и неистощимые силы". Одна из этих работ Лосева — "Музыка как предмет логики" — могла бы служить путеводной звездой к этой книге. И все-таки судьба А. Ф. Лосева счастлива, ибо рукописи не горят. Сегодня огромное философское наследие А. Ф. Лосева обретает свое второе рождение.

Напомним, что остальные три планеты Солнечной системы — Уран, Нептун и Плутон — были открыты лишь в XVIII, XIX и XX веках соответственно.

Отсюда пошло выражение "Быть на седьмом небе", обозначающее высшую степень блаженства.

В самом деле, сумма плоских углов s при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°, а число граней при вершине m≥3. Тогда гранями правильного многогранника могут быть только три плоские фигуры: правильные треугольник, четырехугольник (квадрат) и пятиугольник, ибо уже для шестиугольников s = 120°*3 = 360°. Название правильному многограннику дается по общему числу граней М. Таким образом, из равносторонних треугольников можно составить три правильных многогранника при m = 3, 4, 5 (при m = 6 s = 60°*6 = 360°):

1. Тетраэдр (четырехгранник): m = 3, М = 4.

2. Октаэдр (восьмигранник): m = 4, М = 8.

3. Икосаэдр (двадцатигранник): m = 5, М = 20, а из квадратов и правильных пятиугольников — только по одному при m = 3 (при m = 4 s = 90°*4 = 360° — для квадратов и s = 108°*4 = 432° — для пятиугольников).

4. Гексаэдр (шестигранник), или куб: m = 3, М = 6.

5. Додекаэдр (двенадцатигранник): m = 3, М = 12.

В любом выпуклом многограннике числа вершин L, граней М и ребер N связаны формулой Эйлера L + M — N = 2.

Пятая сущность - по-латыни квинтэсенция — у средневековых алхимиков ста означать тончайший элемент, составляющий якобы сущность вещей. В настоящее время квинтэссенция — синоним самого главного, иболее существенного.