Александр Волошинов - Математика и искусство

Правильные многогранники всегда восхищали пытливые умы симметрией, простотой и мудростью своих форм. Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных тел и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям. К сожалению, мы не можем подробнее остановиться на массе любопытных геометрических свойств и физических приложений правильных тел. это выходит за рамки нашего разговор* а тем, кто заинтересуется ими, мы рекомендуем прочитать книгу К. Левитил "Геометрическая рапсодия".

Рисунки тел Платона, выполненные Леонардо да Винчи к книге Луки Пачоли 'О божественной пропорции'. Венеция. 1509

Ко времени Платона в античной философии уже созрела концепция четырех элементов (стихий) — первооснов материального мира: огня, воздуха, воды ц земли. Огонь и землю Платон считает основными компонентами для образования космоса: "...всему, что имело произойти, надлежало, конечно, быть телесным, видимым и осязаемым. Но быть видимым ничто не может без посредства огня, точно так же и осязаемым ничто не может быть без чего-нибудь твердого, твердым же ничто не может быть без земли (Тимей)". Между основными стихиями помещаются две средние — вода и воздух, и все они связываются музыкальными отношениями. Атомам земли Платон придает форму куба, так как и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью. Атомам воды — форму икосаэдра, так как вода отличается текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр — наиболее "катящийся". Атомам воздуха — форму октаэдра, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны. Атомам огня — форму тетраэдра как наиболее острого, мечущегося в разные стороны. Не у дел остался пятый правильный многогранник — додекаэдр. Для него Платон вводит пятый элемент — "пятую сущность" [18] Пятая сущность - по-латыни квинтэсенция — у средневековых алхимиков ста означать тончайший элемент, составляющий якобы сущность вещей. В настоящее время квинтэссенция — синоним самого главного, иболее существенного. — мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкого к шару — самому с0' вершенному по форме телу. С тех пор правильные многогранники называются также платоновыми телами.

Далее, поскольку в музыкальных отмщениях греки видели основу "всеобщей гармонии", Платон устанавливает эти отношения не только для космических тел (гармония сфер), но и для самих элементов, из которых состоит космос. По Платону, отношение основных элементов — атомов земли к атомам огня — равно октаве (2/1), отношение атомов земли и воды, а также воздуха и огня равно кварте (4/3) и т. д. Несмотря на любовь Платона к геометрии, эти отношения не имеют никакой математической базы. Ими Не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы этих тел, вписанных одно в другое, ни число ребер или граней.

Заметим, что поиск музыкальных отношений в геометрических образах сильно увлекал античных исследователей. Не случайно из множества первоклассных открытий Архимед больше всего ценил открытие отношения объемов и площадей поверхностей цилиндра и вписанного в него шара, равного 3/2, т. е. квинте.

Но и в отжившем учении Платона об атомах четырех стихий есть своя внутренняя мудрость. Стремление свести сложные природные явления к простым неразложимым компонентам остается содержанием и современного естествознания. Сейчас известно чуть более ста атомов элементов, из которых состоят все встречающиеся в природе вещества. Сверхзадачей современной физики является выявление "кирпичиков мироздания" — элементарных частиц — первичных, неразложимых далее частиц, из которых состоит вся материя. Еще в начале XX века считалось, что таких частиц три: электрон, протон и нейтрон. Однако катастрофический рост числа открываемых элементарных частиц привел во второй половине XX века к пересмотру воззрений об их элементарности. Сегодня есть основания считать, что такие "экс-элементарные" частицы, как протоны, нейтроны, мезоны, гипероны и др., состоят из различных комбинаций трех типов кварков [19] Любопытна история возникновения термина. Это название заимствовано американским физиком М. Гелл-Маном, высказавшим в 1964 г. гипотезу о существовании трех неизвестных частиц, из романа современного английского писателя Дж. Джойса "Поминки по Финегану". Хотя по-немецки "кварк" — это "творог", в романе слово означает нечто таинственное и непонятное. Герою романа снится сон, где чайки кричат: "Три кварка для мастера Марка". Так слово, изобретенное писателем Джойсом, стало едва ли не важнейшим термином современной ядерной физики. Вот они, узы науки и искусства! (либо пар кварк — антикварк) — новых "кирпичиков мироздания". Не вдаваясь в дебри современной ядерной физики, отметим только, что, как и во времена Платона, принцип простоты является той нитью Ариадны, которая ведет сегодня физиков по темным лабиринтам микромира.

Теорему об отношении объемов и площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара Архимид считал своим высшим достижением. По завещанию Архимеда чертеж этих фигур был выполнен на его могильном камне

Непреходящие математические свойства правильных многогранников (таблица) и их наивная физическая интерпретация по Платону

Еще более современным выглядит стремление Платона видеть элементы материи в виде правильных симметричных тел. Современная наука все глубже проникает в тайну того, что внешние проявления симметрии — от симметрии кристаллов и снежинок до симметрии молекул ДНК — есть следствие симметрии тех фундаментальных законов, которые управляют всеми процессами физического мира. Таким образом, то, что на заре цивилизации античные философы видели атомы в виде симметричных геометрических тел" должно вызывать не саркастическую усмешку, а, скорее, удивление.

Учения о четырех стихиях и гармонии сфер из античности перешли в средневековье. Народное творчество, фантазия средневековых алхимиков и воображение поэтов населили четыре Платоновы стихии мифическими существами — духами. Так появились подземные человечки — гномы или кобольды — духи земли; златокудрые русалки — ундины — с рыбьим хвостом вместо ног — духи воды; прекрасные существа, населяющие атмосферу, ростом не более дюйма с шапочкой из цветка на голове — сильфы или эльфы — духи воздуха; наконец, духи огня — саламандры , пляшущие в огне в виде ящериц. Страшные карлики-гномы охраняют подземные богатства, они сказочно богаты, любят дразнить людей, но чаще помогают им. Красавицы-ундины вечерами расчесывают на берегу свои пышные волосы. Однако они опасны, так как могут очаровать своей красотой и пением пылкого юношу и увлечь его в подводное царство. Танцы и музыка — любимое занятие эльфов, а если музыкант начнет играть мелодию эльфов, то он не сможет остановиться, пока не доиграет ее до конца. Знакомые с детства сказки Андерсена "Дюймовочка" и "Русалочка", сказка братьев Гримм "Белоснежка и семь гномов", комедия Шекспира "Сон в летнюю ночь", баллада Гёте "Лесной царь", поэма Жуковского "Ундина" и многие стихотворения многих авторов навеяны этими легендами. Так отжившая научная теория превращалась в красивую сказку.