Александр Волошинов - Математика и искусство

Мы не будем останавливаться на проблеме деления целых тонов чистого строя, тем более, что их теперь стало два. Отметим другое. Чистый строй в истории музыки сыграл короткую, но заметную роль. Его звучание стало намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем. Чистый строй способствовал формированию мажорного и минорного ладов, развитию музыкальной гармонии. Но...

Вместе с достоинствами пришли и недостатки. Все те же ненавистные музыкантам "волки" поселились теперь уже не на дополнительных, а на основных ступенях чистого строя! Легко проверить, что квинта между II и VI ступенями ( ре-ля ) является самым настоящим "волком": 5/ 3: 9/ 8= 40/ 27≈1,4815. Соответственно "волком" является и ее обращение — кварта ( ля-ре 1 ): 9/ 4: 5/ 3= 27/ 20= 1,35:

Следовательно, настроив орган в чистом строе от ноты до, например, органист не мог уже перейти в тональности ро мажор и ре минор , т. е. в те тональности, где "волчья квинта" входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее часто. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту, которые также являются основными ступенями лада. Таким образом, органист оказывался что называется связанным по рукам: модуляции, т. е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части ее выразительных средств.

"Волки" продолжали донимать органистов. На фоне "совершенной гармонии" чистого строя это было особенно невыносимо. Забавный случай рассказывают о знаменитом французском композиторе и теоретике музыки, страстном приверженце чистого строя, Жане Рамо (1683 -1764). Однажды Рамо, желая отказаться от предлагаемой ему должности церковного органиста, "выпустил" из органа столько "волков", что своей игрой привел в ужас святых отцов и убедил их в своей "бесталанности". Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лестными предложениями.

Однако проблема оставалась. Выгнать "волков" из органа, т. е. найти закон построения нового музыкального строя, а значит, и рецепт новой настройки органа, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов.

Но то, что не смог сделать изощренный ум математика, сделала обыкновенная смекалка простого органиста...

XVIII век в истории музыки начался решительной победой рационализма века Просвещения над антично-средневековым музыкальным целомудрием. К 1700 г. немецкий органист Андреас Веркмейстер (1645-1706) осуществил смелое и гениально простое решение: он отказался от совершенных и несовершенных консонансов — квинт, кварт и терций, оставив в первозданной консонантной красе лишь одну октаву, и попросту разделил ее (геометрически!) на 12 равных частей. В результате пифагорова комма, которую до того времени нетронутой передвигали с места на место, также разделилась на 12 равных частей и стала незаметной. Так в музыке восторжествовала темперация (лат. соразмерность), а новый двенадцатизвуковой строй был назван равномерно-темперированным . Но по порядку...

Вначале, разумеется, были попытки улучшить чистый строй, который сохранял главный недостаток пифагорова строя: невозможность безболезненного перехода из тональности в тональность. Естественным желанием при решении этой проблемы было увеличить количество звуков в октаве. Посмотрим, что из этого выйдет.

Пусть мы настроили октаву в чистом строе от ноты до малой октавы (1) согласно (8.7). Затем повторим ту же процедуру от ноты ре (9/8), для чего 9/8 умножим последовательно на все интервальные коэффициенты чистого строя (нижние цифры в (8.7)). Проделаем эти построения от всех 7 основных нот чистого строя; при этом новые ноты, которые мы будем получать в следующей (первой) октаве, также будем учитывать, ибо у них, разумеется, должны быть октавные повторения в исходной (малой) октаве. В результате наших вычислений получим (новые ноты написаны красным, октавные повторения нот — синим):

Как видим, 7 основных нот дали нам 11 дополнительных! Итог не слишком радостный. Но процесс образования новых нот все-таки затухает: нота ре дала 4 новых ноты, ми — 3, фа — 2, соль — ни одной (!), ля и си — по одной. Теперь ту же процедуру нужно проделать с новыми одиннадцатью нотами, ибо раз мы хотим сделать все ноты равноправными, то они не должны составлять исключение. Затем — с вновь полученными (самыми новыми) и т. д. К счастью, процесс все-таки замкнется, но какой ценой! В результате получим 84 ступени в октаве! Кто будет играть на столь сложном инструменте?!

Сейчас трудно сказать, кому первому пришла идея равномерно разделить октаву (а вместе с ней и пифагорову комму) на 12 равных частей. Идея эта была подготовлена самой логикой развития музыкального строя и, как говорят в таких случаях, носилась в воздухе. Но изложение этой идеи мы находим опять-таки в энциклопедическом труде Мерсенна "Универсальная гармония". Здесь Мерсенн дал математическое описание нового строя и рассчитал его интервальные коэффициенты. Суть нового метода заключалась в следующем.

Мы знаем, что и пифагоров, и чистый строй не замкнуты, т. е. звук, полученный в результате 12 ходов по квинтам вверх или вниз, не является точным октавным повторением исходного звука, а отличается от него на пифагорову комму. На протяжении столетий наибольшее, что позволяли себе теоретики музыки,- это перегонять комму по гамме с места на место. Комма нетронутой блуждала по гамме и время от времени заявляла о себе в завывании "волков". Так вот, Мерсенн предложил сузить полутона так, чтобы они точно укладывались в октаву. Тем самым он равномерно распределил пифагорову комму по всем 12 полутонам , и она как бы "растворилась" в гамме: стала незаметной.

Для того чтобы разделить октаву (2) на 12 равных частей, в качестве нового полутона необходимо взять по формуле (6.12) интервал Следовательно, математическое выражение равномерно-темперированного строя будет предельно простым:

(9.1)