Александр Волошинов - Математика и искусство

Если воспользоваться логарифмическими частотами и логарифмическими интервалами (6.13), т. е. прологарифмировать (9.1) по основанию 2, то математический строй (9.1) примет наиболее простой вид (интервал логарифмической октавы 0≤L≤1 будет арифметически разделен на 12 равных логарифмических полутонов (1/12)):

(9.2)

Проверим, что будет в новом строе с консонансами и прежде всего с квинтой. Темперированная квинта имеет интервальный коэффициент 2 7/12≈1,4983, который несущественно отличается от интервального коэффициента чистой квинты (3/2):

То же справедливо и для кварты (4/3):

Эти расхождения улавливает лишь изощренный слух профессионала. Несколько хуже обстоят дела с терциями. Сравнивая темперированную большую терцию

2 4/12= 1,2599 с пифагоровой терцией (81/64 = 1,2656) и чистой терцией (5/4 = 1,25), имеем 1,2656/1,2599≈1,0044; 1,2599/1,25≈1,008. Как видим, здесь относительные ошибки соответственно в 4 и 8 раз больше, чем для квинты (примерно то же имеем для темперированной малой терции). Но и эти терции в музыкальном отношении вполне приемлемы.

Однако новая система Мерсенна была принята в штыки. Даже приятель Мерсенна по иезуитскому коллежу математик Декарт был возмущен надругательством над чистотой консонансов, а музыкантов, которые рискнут воспользоваться новой темперацией, назвал невеждами, не имеющими никакого представления о законах музыкальной науки. "Что касается Ваших музыкантов,- писал Мерсенну Декарт,- то какими умелыми Вы бы их ни делали, я должен сказать, что они или издеваются, или насмехаются, или никогда ничего не понимали в теории музыки". Чистота звучания и простота целочисленных отношений для консонансов, идущие от родоначальника европейской науки Пифагора, представлялись Декарту нерушимыми. Таким образом, потребовалось еще более полувека, чтобы новая система завоевала себе право на жизнь.

Путь Веркмейстера к равномерной темперации, разумеется, не был усыпан розами. К тому времени и в музыке сформировались два противоборствующих лагеря: теоретики, опиравшиеся в построении музыкальных систем на математику ("разум"), и практики, предпочитавшие полагаться на собственный слух ("ухо"). Любопытно, что среди сторонников "уха" были математики Декарт и Д'Аламбер, а среди сторонников "разума" — композитор Рамо. К счастью, Веркмейстер держался "золотой середины".

Как бы то ни было, но к концу XVII века вышли две его книги, содержавшие практическое изложение равномерной темперации. Первая из них называлась "Музыкальная темперация, или ясное математически правильное изложение того, как при помощи монохорда следует настраивать по хорошей темперации клавиры — органы, позитивы, регали, спинеты, для того чтобы в соответствии с сегодняшней манерой исполнения музыки все тональности звучали в приятной и сносной гармонии. К этому добавлено предваряющее сочинение о преимуществах совершенных и несовершенных музыкальных исчислений, пропорций и консонансов, которые надо учитывать при установлении этой темперации. Наряду с этим приложено гравированное на меди ясное и полное обозначение этой темперации на монохорде. Обнародовано Андреасом Веркмейстером, соборным органистом в Кведлинбурге. 1691 год". Название второй книги мы лучше опустим.

Итак, к началу XVIII века органы, настроенные Андреасом Веркмейстером, зазвучали в равномерно-темперированном строе. Преимущества нового строя были очевидны. Это был замкнутый энгармонический строй, состоящий из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха и в гармоническом, и в мелодическом исполнении. В новом строе стали совершенно безболезненными переходы из тональности в тональность (модуляции), "волки" навсегда покинули орган. Простота нового строя также была его неоспоримым преимуществом.

Конечно, и в век Просвещения новое не всеми воспринималось восторженно. Выдающийся немецкий композитор Георг Фридрих Гендель (1685-1759) не принял новшества. Отказ от совершенных консонансов возмущал его. К счастью, равномерная темперация нашла сторонника в лице сверстника Генделя, великого немецкого композитора и органиста Иоганна Себастьяна Баха (1685-1750). В простоте и математической строгости равномерной темперации Бах гениально предвидел подлинный путь развития музыки. Предвидения Баха сбылись: равномерная темперация сегодня лежит в основе всей мировой музыки.

Иоганн Себастьян Бах (1685- 1750). Последний прижизненный портрет И. С. Баха работы неизвестного художника

Для демонстрации возможностей нового строя Бах написал свое бессмертное произведение "Хорошо темперированный клавир", основной целью которого было ознакомить играющих на клавире со всеми двадцатью четырьмя (12-мажорными и 12-минорными) тональностями хроматической гаммы нового "хорошо согласованного" строя. Бах хотел показать равноценность всех тональностей при новой системе настройки клавира и вместе с тем выявить характерную окраску каждой тональности. На титульном листе "Хорошо темперированного клавира" значилось: "Для пользы и употребления жадного до учения музыкального юношества, как и для особого времяпрепровождения тех, кто уже преуспел в этом учении, составлено и изготовлено Иоганном Себастьяном Бахом — в настоящее время великокняжеским Ангальт-Кетенским капельмейстером и директором камерной музыки. В году 1722".

Разумеется, Бах слишком скромно оценивал свое произведение. Цикл прелюдий и фуг Баха занимает особое место в мире музыки. Это не просто один из бессмертных шедевров мировой музыки. Это настоящая энциклопедия полифонического искусства, его альфа и омега, настольная книга каждого мыслящего музыканта. Не случайно Бетховен называл "Хорошо темперированный клавир" своей "музыкальной библией", которую он изучал с раннего детства до глубокой старости. Да и сам Бах всю жизнь обращался к своему детищу и через 24 года написал вторую часть "Хорошо темперированного клавира", также состоящую из 24 прелюдий и фуг.

И все-таки является ли 12-звуковая равномерная темперация "абсолютной истиной" в музыке? Разумеется, нет! Спор Баха и Генделя продолжается. Музыкантов с особо тонким слухом раздражают "тупые" консонансы темперированного строя. Чайковский после отдыха на природе болезненно ощущал недостатки темперированной музыки, и прежде всего собственной. Известно, как мучился Скрябин, не находя в рояле чистых интервалов. В последние годы жизни Скрябин пытался сконструировать рояль с дополнительными тонами, но неожиданная смерть не позволила осуществить задуманное. Наш соотечественник и современник, крупнейший пианист XX века Святослав Рихтер признается, что он физически старается преодолеть темперацию рояля при помощи звукоизвлечения, придавая диезным и бемольным звукам, когда это нужно, различную тембровую окраску. Поиски новых равномерных темперации продолжаются. Разработаны 24-, 48- и 53-зву-ковые равномерные темперации. На каждую из них специально написана музыка и сконструированы музыкальные инструменты. Но все они практического распространения не получили. Возможно, новые темперации ждут еще нового Веркмейстера и нового Баха...