Александр Волошинов - Математика и искусство

(10.3)

Сравнивая решения Д'Аламбера (10.2) и Д. Бернулли (10.3), мы, казалось бы, приходим к абсурду: одно и то же уравнение (10.1) имеет совершенно непохожие решения! Но никакого абсурда здесь нет, так уж устроены дифференциальные уравнения. Они обладают бесчисленным множеством решений, что легко видеть из (10.2), где функции φ(x — at) и ψ(x + at) произвольные. При достаточно общих предположениях относительно функций φ и ψ правая часть (10.2) может быть представлена рядом (10.3).

Выбор того или иного частного решения дифференциального уравнения диктуется условиями, в которых протекает процесс (это так называемые граничные условия), и условиями, которые имели место в начале процесса (так называемые начальные условия). Только совокупность дифференциального уравнения, начальных и граничных условий определяет решение той или иной физической задачи. С помощью общего решения (10.2) Д'Аламбер решил одну из таких задач: найти колебания бесконечной струны (т. е. при отсутствии граничных условий), которой в начальный момент времени t = 0 придали некоторую форму f(х) и сообщили некоторое ускорение g(x). Математически задача ставилась так: найти решение уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(x), u(х,0) = g(x), т. е. решить систему

(10.4)

Решение задачи (10.4) определяется формулой Д'Аламбера

(10.5)

Формула (10.5) в простейшем случае g(x) = 0, т. е. когда струну тихонько оттянули и отпустили, не придавая ей дополнительного ускорения, принимает вид

и физически означает, что сообщенный струне при t=0 профиль f(x) будет распространяться влево и вправо со скоростью а. Это так называемые две бегущие волны , движущиеся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью а.

Начальное возмущение треугольной формы распадается на две бегущие волны. Профиль начального возмущения сохраняет свою форму, а его амплитуда уменьшается вдвое

На самом деле бесконечных струн не бывает. Струна имеет конечную длину l и, как правило, жестко закреплена на концах. Так возникают граничные условия: u(0,t) = 0 — струна закреплена слева (х = 0); и (l,t) = 0 — струна закреплена справа (х = l). Ясно, что в этом случае бегущие волны будут отражаться от концов, взаимодействовать друг с другом и образовывать более сложную картину колебаний.

Задача о колебании конечной струны была независимо решена Д'Аламбером и Эйлером, а еще через полвека Жозеф Фурье изобрел новый метод, позволявший решать эту и многие другие задачи математической физики. Задача о колебании конечной струны формулируется так: найти решение волнового уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(х), u t(x,0) = g(x) и граничным условиям u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, т. е. решить систему

(10.6)

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) не был кабинетным ученым. Он взлетел на гребне Великой французской революции 1789 г. и из сына провинциального портного, готовившегося принять монашеский постриг, превратился в друга императора Наполеона. В 1798 г. Фурье участвовал в египетском походе Наполеона, где его жизнь не раз подвергалась опасностям. По возвращении из Египта Фурье занимался административной деятельностью, но находил время и для математических исследований. В 1807 г. он написал свою бессмертную работу "Математическая теория тепла". Главный математический результат Фурье можно описать так: при некоторых ограничениях всякую функцию f (х) можно представить в виде ряда (бесконечной суммы чисел или функций), называемого ныне рядом Фурье:

Фурье разработал метод решения уравнений типа (10.1), называемый методом разделения переменных Фурье.

Идея метода Фурье гениально проста. Решение уравнения (10.1) ищется в виде произведения двух функций X(х) и Т(t), каждая из которых зависит только от одной, "своей" переменной:

u(х,t) = X(x)T(t). (10.7)

Замена (10.7) расщепляет уравнение (10.1) на два дифференциальных уравнения в обыкновенных "школьных" производных:

(10.8)

где λ — неизвестный вспомогательный параметр. Решая уравнения (10.8) и удовлетворяя начальным и граничным условиям (10.6) (разумеется, мы опускаем все промежуточные выкладки, которых здесь, как и при выводе формулы Д'Аламбера (10.5), хватит на несколько страниц), находят окончательное решение задачи (10.6) о колебании конечной струны:

(10.9)

Выясним физический смысл решения (10.9), и прежде всего функций u n(х,t), составляющих это решение. Для этого выполним искусственное преобразование:

(Здесь мы воспользовались формулой синуса суммы двух аргументов и тем, что Таким образом, u n(х,t) можнс представить в виде

или

(10.10)

Из формулы (10.10) видно, что каждое решение u nпредставляет собой гармоническое колебание (т. е. колебание по закону синуса) с одной и той же частотой и фазой φ n. Амплитуда же колебаний А n(х) для разных точек струны разная, т. е. зависит от координаты точки струны х. Из (10.10) видно, что при х = 0 и х = l А n(0) = А n(1) = 0, т. е. на концах струна неподвижна.

Итак, во времени колебания струны происходят с постоянной частотой ω n, амплитуда колебания для каждой точки струны своя. При этом все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами .