Джо Боулер - Математическое мышление

4. В своей группе проанализируйте все идеи, которые у вас появятся.

Когда вы рассмотрите все 36 комбинаций, вам, вероятно, нужно будет задать вопрос: «Интересно, что произойдет, если мы…» Внесите одно небольшое изменение, проанализируйте этот вариант, а затем сравните два набора результатов.

Возможно, вы захотите задать вопрос: «Почему…»

Источник: NRICH ( http://nrich.maths.org/6947).

Представьте себе прямоугольник площадью 20 см 2.

Какими могут быть длина и ширина этого прямоугольника? Перечислите минимум пять разных комбинаций.

Представьте себе, что вы увеличили прямоугольник вдвое.

Назовите размеры увеличенного прямоугольника и найдите его площадь. На что вы обратили внимание?

Попробуйте начать с прямоугольника с другой площадью и увеличить его вдвое. На что вы обратили внимание теперь?

Можете ли вы объяснить, что происходит?

Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в 3, 4 или 5 раз? Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в дробное количество раз?

Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в k раз?

Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.

Применимы ли эти выводы к другим двумерным фигурам, кроме прямоугольника?

Теперь проанализируйте, что произойдет с площадью поверхности и объемом различных прямоугольных параллелепипедов, если увеличить их в разное количество раз.

Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.

Применимы ли эти выводы к другим объемным фигурам, кроме прямоугольного параллелепипеда?

Источник: NRICH ( http://nrich.maths.org/6923).

Пример 7.3 — задание из школы Рейлсайд, где учителя впервые поставили ученикам задачи на линейную функцию (они называют их схемами формирования горок), которые отображали определенную форму представления, и предложили им определить, какой будет, скажем, горка № 10.

Как растут эти фигуры?

Можете ли вы определить, какой будет фигура на шаге 100?

Какой будет фигура на шаге n ?

Одни группы могли представить ответ на этот вопрос в геометрической форме, другие — в числовой, с помощью таблицы из двух столбцов, а третьи — в алгебраической. После того как ученики рассказывали о своих решениях, учителя задавали вопрос: «Кто-нибудь понял это иначе?»

Позже учителя Рейлсайд начали давать более сложные и интересные задания, в рамках которых предоставлялась не вся необходимая информация и ученикам приходилось вместе работать над воссозданием отсутствующих элементов таблицы, графика, уравнения и геометрического представления закономерности, как показано на рис. 7.5.

Рис. 7.5.Задача CPM

Более подробная информация об этих и других задачах, которые используются в школе Рейлсайд, можно найти в книге, которую написали ее учителя (Nasir et al., 2014). Многие задачи такого рода представлены в модуле курса CPM [18]под названием Connections («Связи»). В свое время учителя Рейлсайд преподавали математику в рамках традиционных методов в группах, сформированных по принципу успеваемости, но многие ученики не справлялись с этим предметом.

Учителя Рейлсайд не считали, что эти неудачи обусловлены недостатками самих учеников, хотя многие дети поступили в школу с объемом знаний по математике на уровне второго класса. Они подали заявку на грант, который позволил им все лето заниматься планированием новой учебной программы и разработкой нового подхода. Эти учителя уже знали о комплексном обучении, поэтому отказались от формирования классов по успеваемости и разработали вводный курс алгебры, который должны были пройти все новички-старшеклассники. Они создали курс алгебры, который был глубже, чем традиционный, чтобы дать увлекательный опыт всем детям, даже уже изучавшим алгебру. Поскольку учителя Рейлсайд были глубоко привержены идее равенства и совместного обучения, они разработали и внедрили программу, которая открывала ряд возможностей для изучения математики. Стандартные учебники обычно организованы вокруг таких математических методов, как построение графиков линейных функций или разложение многочленов на множители. Учителя Рейлсайд организовали свою программу вокруг таких важных концепций, как «Что такое линейная функция?» Они не составляли задачи; они взяли глубокие, концептуальные задачи по математике из опубликованных учебных программ, таких как College Preparatory Mathematics — CPM («подготовительный курс математики для поступления в колледж») и Interactive Mathematics Program — IMP («программа интерактивного изучения математики»). Кроме того, они решили представлять алгебру с помощью не только рисунков, но и различных предметов, включив в учебную программу специальные развивающие материалы, которые используются для осмысления алгебраических концепций (Picciotto, 1995).

Основным элементом курса алгебры, а впоследствии и других курсов, которые преподавались в Рейлсайд, было множество форм представления: ученикам часто предлагали представить свои идеи разными способами, например в виде слов, графиков, таблиц, символов и диаграмм. Кроме того, детям советовали использовать метод цветового кодирования, представляя каждую идею своим цветом — например, использовать один и тот же цвет для отображения оси x в выражении, диаграмме, на графике, в таблице и текстовом описании (пример 7.4).

Многоплановый характер уроков в Рейлсайд способствовал тому, что ученики этой школы начали добиваться больших успехов. Проанализировав причины повышения уровня успеваемости в этой школе, мы поняли, что дело было в большем количестве способов добиться успеха.