Валентин Арьков - Применение гистограмм в управлении качеством

Рис. 9.3.5. Метод преобразования

Вопрос. Какие два этапа включает моделирование произвольного распределения?

Итак, нас ожидает первый этап моделирования — равномерное распределение. С помощью генератора случайных чисел мы создаём столбец случайных чисел с РАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ на интервале [0, 1](рис. 9.3.6). Напомним, что в каждом упражнении задаём новое начальное состояние генератора Random Seed. Полученные случайные числа размещаем в колонке Uniform(равномерное распределение).

Рис. 9.3.6. Генератор равномерного распределения

Задание. Сгенерируйте числа с равномерным распределением.

Теперь второй этап моделирования — обратная функция. Мы пропускаем полученную случайную величину с равномерным распределением через обратную функцию распределения и получаем заданное распределение. Для такого преобразования мы будем использовать встроенную функцию Excel — обратную интегральную функцию бета-распределения (inverted beta distribution):

BETA.INV (probability, alpha, beta).

Аргументы функции — вероятность и параметры распределения. На выходе функции получаем случайную величину с бета-распределением (рис. 9.3.7).

Рис. 9.3.7. Генератор бета-распределения

Задание. Проведите функциональное преобразование равномерного распределения.

Бета-распределение готово. Теперь нам нужно расположить случайные числа на поле допуска. Применяем нашу формулу пересчёта координат (рис. 9.3.8). Полученные числа округляем до десятых (рис. 9.3.9). Вот эти данные мы и будем далее обрабатывать с помощью нашей гистограммы. Эти случайные числа имитируют результаты измерений размеров деталей в процессе производства.

Рис. 9.3.8. Числа в поле допуска

Рис. 9.3.9. Округление

Задание. Проведите пересчёт координат и округлите полученные числа.

Проводим группировку данных и строим гистограмму, как описано выше. Получаем график (рис. 9.3.10). Можно видеть, как проявляется асимметрия распределения. При наложении на график кривой нормального распределения асимметрия становится довольно очевидной. Гистограмма укладывается в поле допуска. Это значит, что брака пока ещё нет. Заметная асимметрия — это повод уделить внимание производственному процессу и внести коррективы — пока не стало слишком поздно.

Рис. 9.3.10. Оформленная гистограмма

Задание. Проведите группировку данных и постройте гистограмму.

Несколько вершин (пиков) на графике распределения говорят о том, что здесь смешаны несколько распределений с одним пиком. Такая СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ может образоваться, если мы «перемешали в одном ящике» детали, выпущенные на нескольких разных станках. Либо это могут быть результаты работы разных смен рабочих. При этом мы имеем разные средние значения для разных источников.

Если высота вершин разная, это говорит о том, что второй источник деталей (станок, поставщик или смена работников) выпускает меньшее количество продукции. Это дополнительная информация, полезная для выяснения причин и исправления ситуации.

Форму распределения с несколькими вершинами называют МУЛЬТИМОДАЛЬНОЙ, то есть имеющей несколько мод.

Вопрос. О чём свидетельствует наличие нескольких мод в распределении?

После выяснения, какой источник производит какие детали, проводят СТРАТИФИКАЦИЮ — расслоение данных. Данные разделяют на разные группы (слои) в зависимости от источника (станка, работника, поставщика). После такого расслоения будут получены несколько гистограмм. При этом каждая гистограмма соответствует нормальному распределению и имеет одну моду.

Вопрос. Что такое стратификация?

Будем моделировать смесь двух распределений. Выбираем два средних значения так, чтобы между ними было расстояние в несколько сигм. Оба распределения должны располагаться внутри поля допуска (рис. 9.4.1).

Рис. 9.4.1. Смесь двух распределений

Задание. Сделайте зарисовку смеси распределений.

Сгенерируем два набора данных с разными средними значениями и с разным количеством единиц — формулы (9.4.1).

Первые 10000 значений генерируем с одними параметрами, остальные 20000 — с другими. Значение сигмы берём такое же, как в задании.

Задание. Сгенерируйте смесь распределений.

Проводим группировку данных. Строим гистограмму (рис. 9.4.2). Среднее значение близко к номинальному размеру. Распределение существенно отличается от нормального. Две вершины явно различимы. Форма распределения отличается от нормальной. При этом брака ещё нет, так как все размеры находятся внутри поля допуска.

Рис. 9.4.2. Гистограмма

Задание. Проведите группировку данных и постройте гистограмму.

Задание. Постройте две раздельные гистограммы для разных наборов данных. Нанесите обе гистограммы на один график.

Ещё одна известная ситуация: изолированный пик распределения расположен далеко от основной массы деталей или изделий. Между двумя «колоколами» распределений наблюдается явное отсутствие изделий. Этот пик может быть меньшей высоты, если количество таких изделий небольшое. Эта ситуация тоже является смесью распределений. Причиной может быть серьёзное нарушение технологии производства или погрешности измерения, а также просто добавление существенно отличающихся изделий от другого поставщика.

Вопрос. О чём свидетельствует распределение с изолированным пиком?

Задание. Выберите параметры распределений и сделайте зарисовку.

Задание. Сгенерируйте данные.

Задание. Проведите группировку данных и постройте гистограмму.

Плоская вершина (плато) образуется в результате смеси нескольких нормальных распределений с БЛИЗКИМИ средними значениями. Источником таких данных могут быть разные станки с похожими, но различающимися настройками.

Вопрос. О чём свидетельствует плато в распределении?

Различие между средними значениями в смеси может быть равно одному-двум стандартным отклонениям.

Задание. Выберите параметры трёх близких распределений и сделайте зарисовку.

Задание. Сгенерируйте данные — три набора по 10000 единиц.

Задание. Проведите группировку данных и постройте гистограмму.

Задание. Постройте три отдельных гистограммы и нанесите их на один график.

Тренд — это общая тенденция, направление изменений. Настройки станка или характеристики обрабатывающего инструмента могут медленно, плавно меняться со временем. На гистограмме такой тренд (дрейф) проявится в виде ПЛАТО — как в предыдущем разделе. Здесь тоже имеет место смесь распределений с близкими средними.