Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

А вот многочлен третьей степени 3 x ³ +9 x ² –12 раскладывается так:

то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости . Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат ( x, y ), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось , на которой расположены числа 0, ± i , ±2 i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2 i , 2 + 3 i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w , расположенную симметрично напротив w . А теперь просто сложим z и – w , как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной ) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как | z |) есть расстояние от 0 до точки z . Если z = a + bi , тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен

На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2 i имеет модуль √( 3 ² + 2 ² ) = √ 13 . Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan –12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.

Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле

что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Re iθ .

А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.

Теорема:Для комплексных величин z 1и z 2 | z 1 z 2| = | z 1| | z 2|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей .

Например,

А что насчет угла, привязанного к произведению? Для обозначения угла, образованного комплексным z и «положительной» половиной оси x , обычно используется представление arg z . Так, arg (3 + 2 i ) = 0,588 рад. Аналогично arg (1 – 3 i ) = tan –1(–3) = –71,56° = –1,249 рад, потому что значение 1 – 3 i располагается в квадранте IV, а тангенс его угла θ равен –3.

Обратите внимание, что угол значений (3 + 2 i )(1 – 3 i ) = (9 – 7 i ) имеет tan –1(–7/9) = –37.87° = –0,661 рад, что есть 0,588 + (–1,249). И имеется теорема, которая доказывает, что это совсем не совпадение!

Теорема:Для комплексных величин z 1и z 2arg ( z 1 z 2) = arg ( z 1) + arg ( z 2). Другими словами, угол произведения есть сумма углов.

Доказательство этого (оно приведено в «отступлении») основано на некоторых тригонометрических тождествах, рассмотренных нами в предыдущей главе.

Доказательство:Возьмем две комплексные величины z 1и z 2, имеющие модули R 1и R 2и углы θ 1и θ 2соответственно. Записав их в тригонометрическом представлении, имеем

Тогда на основании тождеств cos ( A + B ) и sin ( A + B )

Следовательно, z 1 z 2имеет модуль R 1 R 2(что нам уже известно) и угол θ 1+ θ 2, что и требовалось доказать.◻

Обобщим: чтобы умножить комплексные величины, нужно умножить их модули и сложить их углы . К примеру, при умножении некоего числа на i модуль останется прежним, а угол «вырастет» на 90°. Имейте в виду, что при перемножении двух действительных величин положительные числа будут иметь углы, равные 0° (или, что то же самое, 360°), а отрицательные – 180°. Два угла по 180° дадут в сумме 360° – еще одно доказательство, что произведение двух отрицательных величин есть величина положительная. Мнимые же числа имеют углы, равные либо 90°, либо –90° (или 270°). Следовательно, при умножении такого числа на само себя угол должен быть равен 180° (так как 90° + 90° = 180°, а –90° + –90° = –180°, что ничем не отличается от 180°), что соответствует отрицательной величине.