Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Ну и, наконец, возьмем число z с углом θ: 1/ z должно иметь угол –θ. (Почему? Да потому что z · 1/ z = 1, то есть z и 1/ z должны в сумме давать 0°.)

Получается, что при делении комплексных чисел, мы делим их модули и вычитаем их углы: z 1/ z 2имеет модуль R 1/ R 2и угол θ 1 – θ 2.

Если вдруг у вас под рукой есть профессиональный калькулятор, сделайте вот что:

1. Наберите на нем любое хорошо запоминающееся семизначное число (можно взять номер телефона, несколько цифр из номера паспорта или просто любимую цифру, повторенную семь раз).

2. Посчитайте обратную ему величину (для этого нужно нажать кнопку 1/ x ).

3. Прибавьте к нему единицу.

4. Возведите результат в степень, равную загаданному семизначному числу (нажимаете кнопку x y , вводите семь цифр и нажимаете «равно»).

Первые четыре цифры ответа – 2,718, да? Не удивлюсь даже, если у вас получится

то есть цифр, совпадающих с иррациональным числом e , будет куда больше.

Так что это за мистическое e такое, в чем его секрет и зачем оно вообще нужно?

Ваши операции с калькулятором свелись, по сути, к

где n и есть ваше семизначное число. Семь знаков – много, но что будет, если их будет еще больше? С одной стороны, число (1 + 1/ n ) будет все ближе и ближе подбираться к единице, которая при возведении в степень останется единицей. Следовательно, было бы разумным предположить, что при любом большом значении n (1 + 1/ n ) nбудет приблизительно равно единице (например, 1,001 100≈ 1,105).

С другой стороны, даже при больших значениях n результат (1 + 1/ n ) никогда не опустится ниже этой самой единицы. А при последовательном возведении такого числа во все бо́льшую и бо́льшую степень, увеличиваться будет и итог (скажем, 1,001 10 000будет больше 20 000).

Сложность здесь заключается в том, что «основа» (1 + 1/ n ) становится тем меньше , чем больше возрастает n . И это постоянное «перетягивание каната» между единицей и бесконечностью пододвигает ответ все ближе и ближе к e = 2,71828… (Так, 1,001 1000≈ 2,717.)

Давайте посмотрим повнимательнее, как ведет себя функция (1 + 1/ n ) nпри возрастающих значениях n :

Именно так и определяется число e : как величина, к которой приближается (1 + 1/ n ) n с возрастанием значения n . Математики называют ее пределом (1 + 1/ n ) n при n , стремящейся к бесконечности. Записывается это следующим образом:

Если заменить дробь 1/ n на x / n , оговорившись, что x есть действительная величина, то с возрастанием n / x число (1 + x / n ) n/x будет все больше приближаться к e . Возведя обе части этого уравнения в степень x (и вспомнив, что ( a b ) c = a bc ), мы приходим к экспоненциальной формуле:

где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через t же лет – в

Чтобы отследить общую закономерность, заменим ставку 0,06 ставкой r , а начальную сумму $10 000 суммой $ P . Тогда через t лет вы смогли бы получить

Теперь предположим, что проценты начисляются дважды в год: по 3 % каждые 6 месяцев. Через год на вашем счете будет лежать $10 000(1,03)² = $10 609 – немного больше, чем в прошлом случае.

С ежеквартальными (раз в три месяца) начислениями вы заработаете 4 раза по 1,5 %, то есть $10 000(1,015) 4= $10 613,63.

Давайте обобщим и это: при начислении процента n раз в год через 365 дней сумма ваших накоплений составит

При очень больших значениях n мы будем иметь дело с непрерывными начислениями процента. Согласно второму замечательному пределу, за год получится

Сведем все это в таблицу:

Иными словами, начав с $ P , с непрерывными начислениями по ставке r через t лет вы получите $ A . Все это выражается очень симпатичной во всех отношениях формулой

Как хорошо видно на графике, функция y = e xрастет очень быстро. По соседству с ней мы изобразим графики e 2xи e 0,06x. Правда, похожи? Подобный рост называется ростом по экспоненте . Если же взять график y = e –x, то он очень быстро приближается к 0, то есть демонстрирует спад по экспоненте .

А что насчет графика 5 x ? Так как e < 5 < e ², он должен лежать между e x и e 2 x . Если точнее, то e 1,609… = 5, следовательно, 5 x ≈ e 1,609 x . В целом же любую функцию a x можно представить в виде e kx , где k есть экспонента, соответствующая a = e k . А для того, чтобы найти k , нам понадобятся логарифмы .

Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x . Считается, что

из чего следует

Например, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов: