Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

1.3.5. В предыдущем упражнении обнаружили, что по мере увеличения после значения 2 популяция перестанет стремиться к и вместо этого попадет в цикл длины 2 и более.

а. Покажите, что, несмотря на срыв модели в 2-цикл, единственными точками равновесия по-прежнему являются и 1.

б. Если попадает в 2-цикл, то . Поэтому, возможно, стоит найти формулу для выраженного через . Сделайте это для и . Ответ должен оказаться многочленом четвертой степени.

в. Можно ли использовать полученные результаты из части (б) для поиска аналитических формул точек равновесия в 2-цикле, приравняв ? Попробуйте. Не всё может получиться с первого раза, но, по крайней мере, попробуйте объяснить те сложности, с которыми столкнулись.

1.3.6. Для каждого из следующих пунктов определите точки равновесия.

а.

б.

в.

г.

д.

1.3.7. Для пунктов (а–д) из предыдущей задачи алгебраическими преобразованиями линеаризуйте модель сначала на устойчивом состоянии 0, а затем на другом устойчивом состоянии для определения типа их устойчивости.

1.3.8. Вычислите все точки равновесия модели . Затем используйте чисто алгебраические средства для линеаризации в каждой из этих точек, чтобы определить, когда они стабильны или нестабильны.

1.3.9. Средствами математического анализа повторите решение предыдущей задачи используя производные для определения устойчивости равновесий . Конечно, должны получиться те же ответы.

1.3.10. Несколько иной подход к поиску соотношения между производными и стабильностью заключается в следующем: найдите приближение касательной прямой к в точках равновесия и . После этого замените найденными линейными приближениями в уравнении . Используйте это для определения типа стабильности точек равновесия. Полученный результат должен совпадать с ответами из двух предыдущих задач.

1.3.11. Моделирование многих социальных процессов связано с диффузией. Даже на уровне математических идей их взаимное проникновение между самыми разными отраслями очень заметно. Простым примером является найм выпускников математических специальностей на работу программистами (верно и обратное, квалифицированные программисты как правило дополнительно получают качественную математическую подготовку). Простая модель представляет социальную группу программистов как единый пул с концентрацией незаурядных умов , а группу профессиональных математиков как смежный отдел с концентрацией умов . Если для простоты предположить, что оба интеллектуальных пула имеют единичный объем, то в течение фиксированного промежутка времени на одной итерации найма новых сотрудников общее количество сотрудников окажется неизменным. Если представить себе очень маленький фиксированный интервал времени, то увеличение за этот временной интервал будет пропорционально разности между и . То есть . Этот экспериментальный факт иногда называют законом Фика.

а. В каком диапазоне должен быть параметр , чтобы эта модель имела смысл?

б. Используя тот факт, что , формализуйте модель так, оставив лишь два параметра, и , чтобы выразить через .

в. Для , , и различных вариантов значений , исследуйте модель с помощью программы onepop.m для MATLAB из задачи 1.2.4. Как изменится поведение модели, если использовать другое значение ?

г. Алгебраическим путём найдите точку равновесия (выразив её через и ) для этой модели. Согласуется ли это с тем, что вы видели в части (в)? Можете ли объяснить результат интуитивно?