Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

T – сокр. англ. true («истинный»), F – false («ложный»), U – undecidable («неразрешимый»).

Она же геометрия Лобачевского.

Она же геометрия Римана.

Седьмое положение (и заключительная фраза) «Логико-философского трактата» (Logisch-philosophische Abhandlung, 1921). Цит. по: Витгенштейн Л . Философские работы. Часть I / Пер. М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Гнозис, 1994.

В русском переводе эта книга была издана московским издательством «Едиториал УРСС» в 2003 г.

World Fashion Channel – международный телеканал, вещающий о современных тенденциях в моде, красоте, путешествиях, технологиях и стиле жизни. – Примеч. ред.

До бесконечности ( лат .).

Для этого можно ввести в Google поисковый запрос «Elvis Presley Kevin Bacon». Элвис Пресли снимался в фильме «Смена привычки» (Change of Habit, 1969) с Эдвардом Аснером. Эдвард Аснер играл в фильме «Джон Ф. Кеннеди. Выстрелы в Далласе» (JFK, 1991), в котором снимался и Кевин Бейкон. Следовательно, у Аснера число Бейкона равно 1, а у Пресли (который никогда не играл в тех же фильмах, что и Бейкон) – 2.

Го – это абстрактная стратегическая настольная игра для двух игроков, задача которых – окружить большую территорию, чем противник. Эта игра требует стратегического и тактического мастерства и большой наблюдательности. Гомоку (которую называют также «гобан», или «пять в ряд») – тоже абстрактная стратегическая настольная игра, и в нее традиционно играют шашками («камнями») для го на доске для го размером 15 × 15 или 19 × 19 клеток. Однако задача участника этой игры – первым выстроить ряд из пяти шашек. В эту игру также можно играть с карандашом и бумагой.

Впервые я увидел эту задачу о восхождении монаха в книге Мартина Гарднера «Мои лучшие математические и логические головоломки» (My Best Mathematical and Logical Puzzles, 1994). Это чрезвычайно увлекательная маленькая книжка.

Многие математики с этим не согласятся. Они скажут, что мы говорим здесь о пределах сходимости и все зависит от того, с каким типом сходимости мы имеем дело. Читателям, не принадлежащим к числу математиков, может быть полезно найти в «Википедии» статью о концепции Supertask [ «суперзадачи» – соответствующей статьи на русском языке в «Википедии» пока что нет. – Примеч. перев. ]: это задача, требующая выполнения бесконечного числа операций за конечный временной промежуток. Мы еще встретимся с этой концепцией позднее, когда познакомимся с Зеноном, Ахиллесом и черепахой.

По иронии судьбы о жизни самого Диогена Лаэртского тоже почти ничего не известно; мы знаем только, что великий биограф жил «когда-то в третьем веке».

Цит. по «Истории западной философии» Бертрана Рассела.

Условие это очень сложно, так что я не буду подробно описывать его.

Кроме того, Сабит ибн Курра одним из первых распространил теорему Пифагора для прямоугольных треугольников на случай произвольного треугольника.

Слово «собственные» означает здесь, что в множество этих делителей не включается само делимое число.

Математик Харальд Бор был братом великого датского физика Нильса Бора. Кроме того, он играл в футбольной сборной Дании, завоевал в ее составе серебряную медаль Олимпийских игр 1908 г. Эта цитата позаимствована из его лекции «Оглядываясь назад» (Et tilbageblik // Mat. Tidsskr. A (1947). P. 1–27).

Фудзивара весьма известен в Японии своими популярными книгами по математике. Одна из этих книг посвящена красоте теорем, которые он делит на красивые и уродливые.

Первое число – 81. Второе… барабанная дробь! – 1458. Удалось ли вам его найти?

Ответ – 62. Каждое число последовательности равно сумме предыдущего числа и суммы цифр предыдущего числа. Например, после 16 идет 23, потому что 16 + (1 + 6) = 16 + 7 = 23. Следовательно, ответ задачи: 49 + 13 = 62.

Подсказка: Найдите наибольшую степень 2, на которую делится ваше число. Ее и следует взять в качестве P – 1.

Теорема о распределении простых чисел утверждает (более или менее) следующее: вероятность того, что число, близкое к n , окажется простым, пропорциональна натуральному логарифму n , деленному на n . Поскольку это отношение стремится к 0 при n , стремящемся к бесконечности, это гарантирует редкость появления простых чисел среди всех натуральных чисел.

Триплет простых чисел – это набор из трех простых чисел вида ( p, p + 2, p + 6) или ( p, p + 4, p + 6). Это самое тесное из возможных расположений трех простых чисел, так как одно из любых трех последовательных нечетных чисел оказывается кратно трем и, следовательно, не является простым (за исключением самого числа 3) – кроме случаев (2, 3, 5) и (3, 5, 7).

Точнее, 100! равно 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463

976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Эти числа названы ее именем, потому что она использовала их в своих исследованиях Великой теоремы Ферма.

«Теэтет» – один из диалогов Платона, посвященных природе знания. Он был написан около 369 г. до н. э.

Помимо того, что Пифагор открыл иррациональные числа, он внес еще один важный вклад в развитие математической науки: он ввел концепцию «доказательства» в смысле, очень похожем на тот, что известен нам сейчас.

Если вы вдруг забыли, что такое логарифм, напомню, что логарифм – это функция, обратная показательной. То есть если b y = x , то log b x = y . Другими словами, логарифм данного числа x – это степень, в которую нужно возвести другое данное число, основание b , чтобы получить число x . Например, 1000 = 10³; следовательно, log 101000 = 3. Точно так же log 264 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Две величины образуют золотое сечение, если их отношение равно отношению их суммы к большей из них (то есть если a > b и a / b = ( a + b )/ a , то величины a и b образуют золотое сечение). Золотое сечение обозначают буквой ϕ.

23 марта 2010 г. благотворительная организация The Warm House («Теплый дом») опубликовала в интернете открытое письмо Перельману с просьбой пожертвовать эти деньги ей. Впоследствии Институт Клэя учредил на средства премии, присужденной Перельману, «кафедру Пуанкаре» – должность для молодых, перспективных математиков в парижском Институте Анри Пуанкаре.