Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Шкала, на которой числа расположены не равномерно, а соответственно величинам их логарифмов, называется логарифмической шкалой. Эта логарифмическая шкала стала основой для изобретения одного очень полезного инструмента для вычислений — логарифмической линейки, которая еще совсем недавно была необходима каждому инженеру, до тех пор, пока на смену ей не пришли калькуляторы и компьютеры.

Линейка устроена следующим образом. Если две обычные линейки, на которые нанесены логарифмические шкалы, двигать друг относительно друга, можно проводить операции сложения и вычитания, а поскольку шкалы на линейках логарифмические, это означает, что мы складываем или вычитаем логарифмы чисел, то есть перемножаем или делим сами числа.

Например, нам надо перемножить 2 и 3. Как показано на рисунке, устанавливаем подвижную часть линейки так, чтобы деление 1 на ней совпало с делением 3 на неподвижной части. Затем переводим взгляд на деление 2 на подвижной части и смотрим, против какого деления на неподвижной части оно установилось. Мы видим, что это 6. То есть логарифм 3 + логарифм 2 = логарифму 6, а 3 × 2 = 6.

На следующем рисунке показан эскиз настоящей логарифмической линейки с несколькими шкалами. Такая линейка позволяет быстро решать разнообразные задачи и производить сложные расчеты, точность которых зависит от размера делений шкал. Фактически такая линейка представляет собой компактную таблицу логарифмов.

Однако каждое новое достижение обычно сопровождается какими-то потерями. Точно так же дело обстоит и в случае с логарифмической линейкой. Линейка позволяет гораздо быстрее и удобнее производить вычисления, но есть и потери. При использовании таблиц логарифмов вам не надо самим определять положение десятичной запятой, оно уже указано в таблице. При расчетах на линейке вам придется определять положение десятичной запятой самостоятельно.

Для того чтобы определить положение десятичной запятой, необходимо грубо оценить ответ решаемой задачи. Например, мы вычисляем выражение, которое рассматривали ранее в этой главе:

(194,768 × 0,045 × 19,2 2) : (1,558 × 35,4).

Произведем округление чисел этого выражения и получим: (200 × 1/20 × 20 2) : : (1½ × 35), что равно (4000 : 50), или 80. Это означает, что ответ, который мы получим, точно решая приведенное выше выражение, будет находиться ближе к числу 80, нежели к 8 или 800. Таким образом, мы оценили положение десятичной запятой, или, другими словами, «порядок величины» будущего ответа.

Теперь, используя логарифмическую линейку, можно выполнить указанные действия. В результате мы получаем ответ 587, а поскольку мы знаем, что ответ должен находиться ближе к 80, чем к 8 или 800, то десятичную запятую можно смело ставить после второй значащей цифры слева, то есть получаем 58,7. Все расчеты при помощи логарифмической линейки, включая определение порядка величины, заняли у меня всего 35 секунд, хотя я считал не торопясь, чтобы не наделать ошибок.

Если решать этот пример, производя умножение и деление в столбик, можно получить более точный ответ. Я проделал эти вычисления и получил 58,6. Но в процессе расчетов я допустил две ошибки, которые мне пришлось исправлять, и всего мне потребовалось 20 минут. Не могу сказать, что процедура доставила мне удовольствие. Сначала я обнаружил расхождение с результатами расчета по линейке, а затем был вынужден проверить каждый этап расчета и сравнить его с результатами, полученными на линейке.

Современные карманные калькуляторы и компьютеры, разумеется, еще более упростили все возможные расчеты. Но я иногда думаю, что если современный ученый — это новое воплощение ученого древности, то карманный калькулятор — это просто новое воплощение древних счетов.

До сих пор при обсуждении квадратных корней я старательно избегал упоминания об отрицательных числах. Например, я говорил, что √4 = 2, потому что 2 × 2 = 4. Но точно так же справедливо выражение √4 = -2, потому что (-2) × (-2) = 4. (Надеюсь, вы не забыли, что при перемножении двух отрицательных чисел мы получаем положительное число.)

Следовательно, у числа 4 есть два квадратных корня, выражение можно записать следующим образом: √4 = ±2. Символ «±» обозначает «или плюс, или минус».

Но если оба числа, + 2 и -2, являются корнями квадратными из 4, то какое же число будет корнем квадратным из -4? Конечно, +2 × -2 = -4, но +2 и -2 — это не одно и то же. Так что перемножение этих двух разных чисел не является возведением в квадрат.

Очевидно, что среди положительных и отрицательных чисел не существует такого, которое, будучи возведено в квадрат, дало бы -4 или любое другое отрицательное число, но давайте проявим упорство, попробуем найти подходящее число и решить эту задачу.

Для начала упростим задачу, насколько это возможно. Любое число, скажем √64 , можно разбить на множители и записать в виде √(16×4). Это выражение можно дальше преобразовать в √16 × √4. При этом окончательный ответ не меняется. √64 = 8 и √16 × √4 = 4 × 2 = 8.

Мы можем решить еще сколько угодно подобных примеров, и всегда это правило будет справедливо. То есть если число разбить на множители, то квадратный корень из этого числа будет равен произведению квадратных корней сомножителей. Это утверждение справедливо и для иррациональных чисел. Например, √15 = √5 × √3. Можно заглянуть в специальные таблицы и найти там -√15, равный 3,872983.

В свою очередь, √5 = 2,236068, √3 = 1,732051 (конечно, это приближенные значения). При перемножении 2,236068 × 1,732051 получаем 3,872983, то есть мы доказали, что √15 = √5 × √3.

Отлично, тогда мы можем предложить такую схему. Любое отрицательное число равно произведению соответствующего положительного числа на -1. Другими словами, -64 = 64 × (-1); -276 = 276× (-1); -1,98 = 1,98 × (-1) и так далее.

Квадратный корень из любого числа, например из -172, можно разбить на сомножители: √-172 = √172 × √-1. Следовательно, если мы найдем квадратный корень из -1, мы сможем найти квадратный корень любого отрицательного числа. Но тут мы опять сталкиваемся с неразрешимой, казалось бы, задачей:

1 × 1 = 1; (-1) × (-1) = 1.

Не существует такого числа, которое при перемножении на себя самое дало бы -1.

Следовательно, единственное, что мы можем сделать, — это придумать такое число, Мы можем договориться, что символ # обозначает, что # × # равно отрицательному числу. Тогда #1 × #1 = -1. Это выражение справедливо по определению, а поскольку оно не противоречит ни одному из математических постулатов, то нет никаких оснований, чтобы его не использовать.

Разумеется, такое число является нереальным, воображаемым. Мы легко можем себе представить, что такое +$1 и -$1. +$1 — это доход в $1, а -$1 — это расход в $1. Но как представить себе #1$? Математики, которые первыми стали работать с этими новыми числами, назвали их мнимыми. В отличие от мнимых чисел обычные отрицательные и положительные числа, как рациональные, так и иррациональные, называются действительными.