Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Математики не стали изобретать для этих чисел нового знака, наподобие знака + или -, хотя мне кажется, это было бы целесообразно. Вместо этого они обозначили √-1 буквенным символом «i». Другими словами, i × i = -1, или √-1 = i. Кроме того, -i × -i также равняется i 2, то есть -1. Мы также должны записать √-1 = -i.

И последнее, -i × i = -i 2= -(-1) = 1.

Теперь мы легко можем извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Величина √-4 равна √4 × √—1, или ±2 × i, что можно просто записать как ±2i.

Точно так же величина √-64 равна √64 × √-1, или ±8 × i, что можно просто записать как ±8i, а величина √-15 равна √15 × √-1, или ±3,8729832 × i, что можно просто записать как ±3,8729832i.

Однако теперь у нас есть отличный повод для возмущения. Что бы там ни говорили, как бы ни уславливались, совершенно непонятно, что такое эти мнимые числа, как можно их себе представить.

На самом деле такое число должно обозначать то, что мы ему приписали, то, о чем мы условились заранее. Не надо забывать, что числа — это изобретение человека и их цель — облегчить познание Вселенной, а со своими созданиями человек вправе поступать так, как считает нужным.

Вспомним, что у древних греков не было отрицательных чисел. Для них -1 была не менее таинственна и непонятна, чем для нас √—1, когда мы приступили к изучению мнимых чисел. Обратившись к отрицательным числам, мы использовали числовую ось, на которой вверх от нулевой отметки располагались положительные числа, а вниз — отрицательные (см. главу 2).

Такая схема сработала в прошлый раз, попробуем использовать ее и сейчас. Проведем через нулевую отметку еще одну линию, перпендикулярную первой числовой оси. Справа отложим через равные интервалы + li, +2i, +3i, +4i, +5i, +6i, …, а слева -li, —2i, -3i, —4i, —5i, -5i… Мы получили две числовые оси:

Например, вместо знаков «+» и «-» мы можем использовать буквенные обозначения сторон света, как на компасе. Условимся, что положительные действительные числа — это N-числа, отрицательные действительные числа — это S-числа, положительные мнимые числа — это W-числа, а отрицательные мнимые числа — это Е-числа.

В нашей схеме совсем не нужно использовать странный термин «мнимое число», поскольку у нас все стороны света — реальны. Но у этого термина глубокие исторические корни, и теперь, пожалуй, поздновато менять название.

Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

И хотя наша таблица имеет довольно странный вид, у нее есть простое геометрическое толкование, которое представлено ниже на рисунках.

Я совсем не утверждаю, что только наша система справедлива, могут существовать и другие системы, в такой же мере справедливые и наглядные. Просто предложенная система удобна и используется.

Раз уж мы заговорили о севере, юге, западе и востоке, то следует вспомнить и о таких направлениях, как северо-запад, юго- восток и так далее. Поскольку результат умножения действительных чисел на мнимые никогда не будет ложиться ни на одну из осей (север—юг или восток—запад). А как обстоят дела со сложением, например, чему равна сумма 1 + i? Ученые-математики не удосужились предложить специальный символ для этого выражения, поэтому его оставляют в виде 1 + i, но в нашей системе координат его можно представить наглядно.Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

N = положительное действительное число, например +1.

Е = положительное мнимое число, например +i.

S = отрицательное действительное число, например —1.

W = отрицательное мнимое число, например —i.

Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.

Предположим, через каждое деление на вертикальной оси, то есть на оси действительных чисел, мы проводим горизонтальную линию. Проводим линию через деление +1, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +1. Следующую горизонтальную линию проводим через +2, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +2. Следующую горизонтальную линию проводим через -3, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно -3. Таких линий можно провести сколь угодно много.

Такую же процедуру можно осуществить и с горизонтальной осью, то есть с осью мнимых чисел. Через каждое деление на горизонтальной оси, то есть на оси мнимых чисел, мы проводим вертикальную линию. Так же, как и в прошлом случае на всей протяженности линии, проведенной через деление +1i, значение мнимого числа равно +1i; на всей протяженности линии, проведенной через деление +2i, значение мнимого числа равно +2i; а на всей протяженности линии, проведенной через деление -5i, значение мнимого числа равно -5i.

Теперь мы получили своеобразный шаблон шахматной доски, на котором для каждой линии, соответствующей мнимому числу, существует линия, соответствующая действительному числу, и наоборот, причем эти линии пересекаются.

Теперь мы сможем найти ответ на вопрос, чему равна сумма 1 + i. Число, соответствующее 1 + i, — это точка пересечения линий +1 и +i на нашем шаблоне. Поскольку расстояния между делениями на обеих осях одинаковы, 1 + i представляет собой число в направлении северо- восток. Точно так же и 2 + 2i, 3 + 3i, 4 + + 4i и так далее.