Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

[Однако если] мы привыкнем иметь дело с подобными логическими построениями, если они проникнут в школьную программу, если мы будем узнавать о них, так сказать, с младых ногтей, так же, как мы узнаем о трехмерной евклидовой геометрии – тогда, очевидно, никому и в голову не придет сказать, что такие геометрические построения противны здравому смыслу».

Настоящее эссе служит наглядной демонстрацией того, что Хан опять оказывается глубоко неправ. Для того, чтобы справиться с теми неприятностями, о которых он говорит, необходимо, на мой взгляд, научить тот здравый смысл, который есть у нас сейчас, воспринимать новое – нет необходимости отбрасывать «старый» здравый смысл и пытаться воспитать «новый». Хан ставит ошибочный диагноз и прописывает лекарство, которое загонит пациента в гроб.

Здравый смысл в геометрии никогда не отрицал того, что он нуждается в помощи логики, невзирая на ее странные и запутанные методы. С чего бы логике опять пытаться от него ускользнуть?

Словом, ни в коем случае нельзя полагаться на то, что типичный математик считает совместимым со здравым смыслом; никак невозможно позволять какому бы то ни было здравому смыслу руководить нами при построении той или иной модели; и вообще, математика слишком важна, чтобы можно было отдать ее на откуп фанатикам от логики.

В настоящей главе обсуждается нитевидные фрактальные деревья и другие почти масштабно-инвариантные фракталы, т. е. масштабно-инвариантные за исключением пренебрежимо малого во фрактальном смысле остатка. Эти фракталы оказываются неоднородными в том смысле, что для разных частей таких множеств размерности D и/или/ D T принимают различные значения. Оглядываясь же назад, мы видим, что все рассмотренные до сих пор фракталы можно охарактеризовать как однородные.

Стандартные интервалы.Полуоткрытый интервал ]0,1], включающий в себя правую концевую точку и не включающий левую, является масштабно-инвариантным, так как он состоит из N=2 уменьшенных копий себя ]0,1/2] и ]1/2,1]. А вот открытый интервал ]0,1[ нельзя считать масштабно-инвариантным, так как кроме N=2 своих копий меньшего масштаба ]0,½[и ]½,1[ он включает в себя и среднюю точку x=1/2 . Я предлагаю назвать эту среднюю точку скейлинговым (или масштабным) остатком. При вычислении D - и во многих других случаях – ею можно пренебречь. Физик сказал бы, что она характеризуется меньшим физическим порядком величины, чем целое и части.

Приведенный пример может ввести нас в искушение рассматривать все остаточные члены как порожденные излишней педантичностью усложнения, никак не влияющие на результат масштабирования. Однако в аналогичных примерах, относящихся к фракталам, которые я называю неоднородными фракталами, остаток может приобрести неожиданно большую значимость. Неоднородный фрактал – это сумма (или разность) множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Ни одно из этих множеств нельзя полностью исключить из рассмотрения, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и в топологическом смысле. И между ними часто возникают конфликты с весьма интересными и значительными последствиями.

Канторовы пылевидные множества и изолированные точки.Построим канторову пыль, разделив интервал [0,1] на b=4 части, и сохранив крайние [0,¼] и [¾,1]. Альтернативный способ – удаление интервалов ]¼,½[ и ]½,¾[ - дает ту же пыль и остаточную точку x=1/2 . Эта изолированная точка не является фракталом, так как и D T , и D в этом случае равны 0.

При обобщении на пространство ℝ E канторова пыль имеет размерности D T =0 и D>0 , а для нефрактального множества остатков верно равенство D T =D=E−1 . То есть остаток вполне может превосходить пыль топологически и/или фрактально.

На рис. 223 представлены зонтичные деревья с бесконечно тонкими стволами. К жизни они совершенно не приспособлены, и в главе 17 мы постараемся несколько увеличить их адекватность в качестве моделей реальных растений. И все же даже эти «остовы» деревьев представляют большой интерес для многих областей математики. Топологу все они показались бы одинаковыми, так как, на его взгляд, любое дерево состоит из бесконечно упругих нитей, и наши деревья также можно растягивать, или сжимать до тех пор, пока они не совпадут друг с другом. Однако эти деревья все-таки различаются и сточки зрения здравого смысла, и как фракталы.

Концы ветвей.Дерево представляет собой сумму двух множеств (ветвей и концов ветвей), размерности которых уживаются друг с другом очень интересным способом. Более простой для изучения частью дерева является множество концов ветвей – фрактальная пыль, похожая на многие другие известные нам пылевидные множества. Она масштабно-инвариантна: N=2 , а r лежит в интервале между 1/√2 и 0 . Следовательно, D варьируется от 2 до 0, хотя фигуры на рисунке имеют размерность D от 1 до 2. Угол между ветвями принимает при каждом разветвлении одно и то же значение θ ; это значение может изменяться в довольно широких пределах, никак не влияя на r и D . То есть одна и та же размерность D может характеризовать весьма различные древесные формы.

Когда 1 , деревья самопересекаются при θ<���θ крит, следовательно, если мы хотим обойтись без самопересечений, то выбор доступных значений θ сужается. Деревья на рис. 223 удовлетворяют условию θ=θ крит, однако мы начнем с предположения, что θ=θ крит +ε .

Деревья.На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения D , концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью D T =0 , а ветви (неважно, с включенными концами или нет) – кривую с размерностью D T =1 . Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. В самом деле, чтобы отделить от множества точку P и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если P - конец ветви), либо две (если P принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если P - точка ветвления).