Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В остальном результат совершенно нов: в главе 13 море представляет собой связное множество, что выглядит как должная топологическая интерпретация открытых морских пространств. Оно открыто и в смысле топологии множеств, т. е. его граница ему не принадлежит. Новизна, привнесенная настоящим построением, заключается в том, что коховы острова могут теперь асимптотически «сливаться» в некий сплошной сверхостров, однако континента из него не получается, а береговые линии образуют в сочетании решетку.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. [38], с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности. ►

Рис. 210. РАСКОЛ В СНЕЖНЫХ ПАЛАТАХ (РАЗМЕРНОСТЬ D ~1,8687)

Давным-давно в далекой стране в прекрасных Снежных Палатах восседал Великий Правитель со своею свитой. Однако между его подданными произошел раскол, за ним последовала война, в которой ни одна из сторон не одержала верх. И тогда Мудрые Старейшины провели границу, разделившую Палаты надвое, дабы туда могли войти без опасения ступить на враждебную территорию и представители Севера, и представители Юга.

Загадки лабиринта.Кто контролирует Великую Палату и как можно войти в нее снаружи? Почему некоторые малые палаты оказываются несориентированы ни по какой стороне света? Подсказку можно найти на обезьяньем дереве на рис. 55.

Фрактальные кривые, поверхности и пылевидные множества, описываемые и в научных целях приручаемые в этой части, можно назвать масштабно-инвариантными только в асимптотическом или как-нибудь иначе ограниченном смысле.

Первая глава части посвящена поверхностям положительного (не обращающегося в нуль!) объема. Что за безумное сочетание противоречивых понятий! Неужели мы, наконец, добрались до математических чудовищ, лишенных-таки какой бы то ни было полезности для естествоиспытателя? Ответ, и на этот раз, решительно отрицательный. Некая парочка весьма известных математиков-теоретиков, полагая, что они старательно избегают всяческих связей с Природой, невольно подготовили для меня как раз тот инструмент, в котором я нуждался, чтобы (помимо всего прочего) описать геометрию … живой плоти.

В качестве предварительного шага освежим в памяти построение Кантором троичного множества C . Его нулевая длина (а если быть точным до конца, то нулевая линейная мера) следует из того факта, что длины трем (средних третей) составляют в сумме

1/3+2/3 2+...+2 k/3 k+1+...=1 .

Однако то, что множество C является абсолютно несвязным (и, следовательно, его топологическая размерность D T =0 ), не зависит от длин трем. Это свойство основано на том фундаментальном факте, что на каждом этапе построения каждый полученный на предыдущем этапе интервал рассекается удалением тремы, центр которой приходится на середину этого интервала. Обозначим отношение длин тремы и ее «несущего» интервала через λ k , тогда выражение для совокупной длины интервалов, оставшихся после K этапов построения, принимает вид ∏ 0 K(1−λ k) . Эта длина уменьшается при K→∞ до некоторого предела, который обозначим через P . В оригинальной конструкции Кантора λ k ≡2/3 , следовательно, P=0 . Однако P>0 всегда, когда ∑ 0 ∞λ k<���∞ . В этом случае остаточное множество C * имеет положительную длину 1−P . Это множество не самоподобно, следовательно, не характеризуется размерностью подобия, однако, исходя из определения Хаусдорфа – Безиковича (см. главу 5), мы можем заключить, что размерность D такого множества равна 1. Из неравенства D>D T следует, что множество C * фрактально. Так как ни D , ни D T не зависят от длин трем λ k , значения этих размерностей дают весьма поверхностную характеристику множества C * .

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади λ 1 , оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади λ 2 . Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность D T которой равна 0, а площадь выражается произведением ∏ 0 ∞(1−λ k) . Если площадь не обращается в нуль, D=2 .

Аналогичным образом можно получить в E− мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями D T =0 и D=E .

⊲ Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство r k =(1−λ k )/2 и рассмотреть формальные размерности, определяемые как D k = ln N/ ln (1/r k ) .

В своем медленном изменении размерность D k воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность D=1 предельного множества C * представляет собой предел отношения ln2 / ln ( 1 /r k ) . Более того, заключение D=1 не требует непременной справедливости неравенства ∑λ k<���∞ , а удовлетворяется выполнением более слабого условия λ k →0 . Как следствие, мы имеем три класса линейных канторовых пылевидных множеств: а) с размерностью 0 и нулевой длиной; б) с размерностью D=1 и нулевой длиной, и, наконец, в) с размерностью D=1 и положительной длиной.

Случай, подобный последнему (в) , может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе построения и позволить его размерности D устремиться к 2. Возьмем, например, r k =k/2 и присвоим N k (а значит и D k ) максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность D=2 нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность (D T =0) и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.