Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Ограничение M=4 .Если ограничить число исходных окружностей M четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета i , j , k один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью Γ ijk (т.е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек γ mn , определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек γ диск через Δ ijk .

Основой моего способа построения ℒ послужили следующие наблюдения: все свободные от γ диски Δ ijk оскулируют ℒ ; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей C m , а кланы, построенные с применением дисков Δ ijk в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой ℒ .

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую ℒ довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне можем мысленно интерполировать кривую ℒ , не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.

Цепи из пяти и более звеньев.В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества ℒ включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности Γ на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей Γ в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку γ mn , в результате чего диск Δ ijk оказывается, не определен. Такие окружности Γ не оскулируют кривую ℒ , а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.

Остальные окружности Γ ijk определяют оскулирующие диски Δ ijk , которые в свою очередь, также делятся на два класса. При добавлении к диску Δ ijk первого класса его кланов мы получим внутреннюю область кривой ℒ ; проделав же такую операцию с диском, принадлежащим ко второму классу, получим внешнюю область ℒ .

Это верно для многих (но не для всех) случаев, когда окружности C m не образуют цепь Пуанкаре.

Перекрывающиеся и/или/ разорванные цепи.В случае, когда окружности C m и C n имеют две точки пересечения γ' mn и γ" mn , эти точки совместно заменяют точку γ . Если же окружности C m и C n не имеют ни одной точки пересечения, γ заменяется двумя взаимно инверсными точками γ' mn и γ" mn . Критерий идентификации Δ ijk становится при этом довольно громоздким, однако основная идея остается неизменной.

Разветвленные самоинверсные фракталы.Кривая ℒ может соединять в себе характерные особенности как смятой петли (кривой Жордана), так и аполлониевой сети, в результате чего мы получаем фрактально разветвленную кривую, близкую к тем, что мы рассматривали в главе 14, но часто гораздо более причудливого вида (см., например, рис. С7).

Самоинверсные пыли.Множество ℒ может также оказаться фрактальной пылью.

В этом разделе мы ознакомимся с ролью, которую понятия аполлониевой упаковки и фрактальной размерности играют в описании класса веществ, известных под названием «жидкие кристаллы». В процессе этого ознакомления нам предстоит обратиться к одной из наиболее активных областей современной физики – теории критических точек. Примером критической точки может служить «точка» на диаграмме температура-давление, описывающая физические условия, при которых в пределах одной физической системы могут сосуществовать в равновесии твердая, жидкая и газообразная фазы. Аналитические характеристики физической системы в окрестности критической точки масштабно-инвариантны, следовательно, подчиняются степенным законам с некими конкретными критическими показателями (см. главу 36). Многие из этих показателей оказываются фрактальными размерностями, и вот перед вами первый пример.

Поскольку жидкие кристаллы не так хорошо известны широкой публике, как того хотелось бы, я начну с их описания, для чего обращусь к статье Брэгга [52]. Эти прекрасные и таинственные субстанции подвижны, как жидкости, однако с оптической точки зрения ведут себя подобно кристаллам. Их длинные цепеобразные молекулы имеют довольно сложную структуру. Некоторые жидкокристаллические фазы называются смектическими (от греч. σμηγμα , что означает «мыло»), так как моделируют мылообразные органические системы. Молекулы смектического жидкого кристалла расположены в слое вертикально и параллельно друг другу, как колосья на поле, при этом толщина слоя равна длине молекулы. В результате получаются очень гибкие и прочные слои или листы, которые, будучи деформированными, стремятся вернуть себе прежнюю форму. При низких температурах слои располагаются один на другом, точно листы в книге, образуя при этом твердый кристалл. Однако при повышении температуры становится возможным легко сдвигать слои относительно друг друга. Каждый слой представляет собой двумерную жидкость.

Особый интерес представляют фокальные конические структуры. Жидкокристаллический блок разделяется на два набора пирамид, причем основания половины из них располагаются на одной из двух противоположных граней, а вершины - на другой. Жидкокристаллические слои внутри каждой пирамиды оказываются свернутыми и образуют множество и приблизительно перпендикулярны плоскости основания пирамиды. В результате основанием каждого конуса является диск, ограниченный окружностью. Минимальный радиус ε такой окружности равен толщине слоя жидкого кристалла. Когда конусы заключены внутри пространственной области – в данном случае, пирамиды с квадратным основанием, - диски, образующие основания конусов, распределяются по основанию этой области (пирамиды). Для получения равномерного распределения следует начать с размещения на основании диска наибольшего радиуса. Затем поместим диски наибольшего возможного радиуса в каждый из остающихся углов и так далее. Если бы было возможно продолжать такое размещение до бесконечности, мы получили бы в точности аполлониеву упаковку.

Физические свойства такой модели мыла зависят от общих площади и периметра пустых промежутков, которые связаны с фрактальной размерностью D , своего рода фотографического «негатива», т.е. салфетки, сквозь отверстия которой не проходят молекулы мыла. Физические подробности можно найти в работе [32].