Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Произведя на свет всем хорошо известный конечный продукт (а именно – канторову пыль), V - преобразование значительно облегчило нам задачу по изложению сути удивительного, однако никогда не пользовавшегося широкой известностью открытия Пьера Фату. Допустив, что число λ вещественно и удовлетворяет неравенству λ>4 , Фату [139] исследует наибольшее из ограниченных множеств на ℝ , остающихся инвариантными при преобразовании f(x) . Это множество, которое я называю вещественной пылью Фату, можно считать близким родственником канторовой пыли. Дальнейших объяснений оно не требует; что касается портрета, то он представлен на рис. 273.

В комплексной плоскости при вышеуказанных значениях λ наибольшим ограниченным самоквадратируемым множеством остается вещественная пыль Фату.

Положив μ=0 , получаем простейшую самоквадратируемую кривую – окружность |z=1| . При преобразовании z→z 2 кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при z=1 остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадратируемая область – диск |z|<1 .

Однако введение вещественного μ≠0 (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного μ (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесконечными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той степени, в какой дают пищу для ума.

Сепаратор S .Топология наибольшего ограниченного самоквадратируемого множества зависит от того, где расположена точка μ по отношению к открытой мною разветвленной кривой S , которую я теперь называю сепаратором. Сепаратор – это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т.е. предел при n→∞ алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением |f * n(0)|=R , где R есть некоторое большое число. Структура кривой S показана на рис. 269.

Атомы.Открытая область внутри S разбивается на бесконечное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит S .

Топологическая размерность.Когда точка μ лежит вне области, ограниченной кривой S , наибольшим ограниченным квадратируемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же μ находится внутри S или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадратируемой кривой. Из принадлежащих S точек, μ по крайней мере, несколько дают древовидную кривую.

Самоквадратируемые фракталы.Если верить слухам, то фрактальность вышеупомянутых пылей и кривых при μ≠0 была полностью доказана Денисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с μ ; следовательно, размерность D должна быть гладкой функцией от μ .

Ветвление.Когда λ находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадратируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда λ принадлежит окружностям |λ|=1 или |λ−2|=1 или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадратируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же λ лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями не стремления к точке (1,0) , самоквадратируемая кривая представляет собой либо σ - петлю, либо σ - дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли σ не вводит.

Рис. 264. Самоквадрируемые фрактальные кривые при вещественном значении λ

Фигуры на рисунках 264 – 273 публикуются впервые (за некоторыми исключениями, использованными мною в [398]).

Слева представлены наибольшие ограниченные самоквадрируемые области при различных значениях λ (а именно, 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 и 3,0). Черная фигура в центре охватывает интервал [0,1].

λ=3 : дракон Сан-Марко.Своего рода безудержная математическая экстраполяция очертаний венецианской базилики на фоне неба вместе с ее отражением в затопленной пьяцце: я окрестил эту кривую драконом Сан-Марко.

Справа помещена кривая при λ=3,3260680 . Это значение λ является ядерным (согласно определению на с. 262) и соответствует периоду w=2 . Кривая развернута на 90° , иначе она не входила в отведенные для иллюстрации рамки.

Рис. 266. Обобщение самоквадрируемых фрактальных кривых при вещественных λ

Изображенная на рисунке «драпировка» была построена в памяти компьютера с помощью процесса, который сводится к отсечению от исходного куба всех точек, итерации которых при отображении z→λz(1−z) уходят в бесконечность. Параметр λ - вещественное число, изменяющееся в интервале от 1 до 4. Ось λ расположена вертикально, а координаты x и y образуют комплексное число z=x+iy .

Любое горизонтальное сечение представляет собой наибольшую ограниченную самоквадрируемую область с соответствующими значениями параметра μ .

При особом значении λ=2 границей сечения является окружность; будем считать ее «поясом» нашей задрапированной фигуры.

При всех остальных значениях λ границами сечений являются фрактальные кривые, включая и те, что изображены на рис. 264. Можно различить замечательные «складки», расположение которых изменяется в зависимости от λ ; ниже пояса они «вдавлены» внутрь, а выше пояса выступают наружу.

Особый интерес представляют наросты на стене, с которой свисает драпировка. К сожалению, данная иллюстрация не может показать сложную структуру верхней части модели во всей ее красе. А) . Для каждого значения λ драпировка включает в себя (в качестве своего рода «опоры») фрактальное дерево, составленное из итерированных прообразов точек x - интервала [0,1]. При всех малых и некоторых больших значениях λ<3 ветви этого дерева обладают по всей своей длине некоторой толщиной. Однако при других больших значениях λ от дерева остается лишь голый остов, полностью лишенный толщины. На рисунке мы можем видеть ветви вдоль прямых x=1/2 или y=0 , остальные же при данном графическом процессе неизбежно оказываются потеряны. Б) . Некоторые горизонтальные участки стены за драпировкой полностью покрыты крохотными «холмами» или «складками», однако мы можем увидеть лишь немногие, самые выдающиеся из них. Эти холмы и складки относятся к «молекулам – островам» (см. рис. 268 и 269), пересекающим вещественную ось. С учетом замечаний А) и Б) теория Мирберга – Фейгенбаума предстает в более общем виде.