Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Если множество не расходится в бесконечность, его топологическая размерность равна 0 (для пылевидных множеств Фату), 1 (для недоедающих драконов) и 2 (для всех остальных драконов).

Рис. 271 (внизу). σ - дракон.Это множество связно, точка λ лежит на большом «прибрежном острове» с рис. 269 (внизу).

Рис. 270. Особый предел λ=1 . Драконы Пеано.Выберем точку λ на острове, расположенном недалеко от связи при θ=2π/n . При n→∞ величина θ→0 ; следовательно, λ стремится к 1. Форма соответствующего дракона неизбежно должна устремиться к форме двустворчатой раковины (образующей основание задрапированной фигуры на рис. 266). Однако между n=∞ и n очень большим, но конечным, имеется все же качественное различие.

По мере того, как n→∞ , растет число конечностей дракона, его шкура сминается, а ее размерность при этом возрастает. Вся конструкция представляется этаким «драконом-отшельником», пытающимся забиться внутрь двустворчатой раковины λ=1 и способным заполнить всю ее внутреннюю область без остатка, т.е. размерность дракона стремится к D=2 . Что же получается? Самоквадрируемая кривая Пеано? Безусловно; однако, как нам известно из главы 7, кривые Пеано вовсе не являются кривыми. Так происходит и здесь: по достижении размерности D=2 наш дракон прекращает свое существование в виде кривой и перевоплощается в область плоскости.

Рис. 273. Вещественные самоквадрируемые пылевидные множества Фату на интервале [0,1]

Работа Фату [139] представляет собой истинный шедевр в рамках того странного литературного жанра, который называется «заметки в «Отчетах» Парижской Академии наук». Задача пишущего в этом жанре часто сводится к тому, чтобы раскрыть по возможности меньше, но при этом создать впечатление, что автор учел все, что только можно было учесть.

Среди прочих восхитительных откровений, которые лучше всего понимаешь только после тщательного самостоятельного изучения, Фату отмечает следующее: когда число λ вещественно и либо λ>4 , либо λ<���−2 , наибольшее ограниченное множество, остающееся инвариантным при преобразовании x→f(x)=λx(1−x) , представляет собой пыль, заключенную в интервале [0,1]. На рисунке показана форма этой пыли при λ>4 . По вертикальной оси откладывается величина − 4/λ в интервале от − 1 до 5. Концевые точки x 1 и x 2 средней тремы являются решениями уравнения λx(1−x)=1 ; на рисунке они образуют параболу. Тремы второго порядка оканчиваются в точках x 1,1 , x 1,2 , x 2,1 и x 2,2 - таких, что λx m,n (1−x m,n )=x m , и так далее.

Мне думается, что эта замечательная связь между пылевидными множествами, подобными канторовым, и одной из элементарнейших функций заслуживает самой широкой известности, не ограниченной узким кругом специалистов.

При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром μ . μ - атом может иметь сердцевидную форму – в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы – посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.

Каждому атому сопоставлено некоторое целое число w , его «период». Когда точка μ лежит внутри атома периода w , итерации f * n(z) уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из w точек. Внутри атома периода w справедливо неравенство |f *' w(z μ)|=1 , причем равенство f *' w(z μ)=1 описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства f *' w(z μ)=0 и f * w(0)=0 .

О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они сплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).

Если рассматривать равенство f * w(0)=0 как алгебраическое уравнение относительно μ , то его порядок равен 2 w−1 . Следовательно, может существовать не более 2 w−1 атомов периода w ; в действительности их меньше, за исключением случая w=1 . При w=2 уравнение f * 2=0 имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения f * m(0)=0 являются также корнями уравнения f * km(0)=0 , где k - целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода w и удовлетворяющая условию f *' w(z μ)=exp(2πim/n) , где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода nw . Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.

Когда значение μ непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации: w умножается на n . Пример: увеличение вещественного μ приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которая я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в c=1 , а каждая молекула-остров является областью слияния с c>1 . Форма дракона или субдракона регулируется значениями f *' w(z μ) и w/c .

Я предполагаю, исходя из «перенормировочных» соображений, что чем дальше находятся атомы от затравки своей молекулы, тем более идентичными становятся их формы.

Следствие: граница каждой молекулы локально самоподобна. Так как она не является гладкой в малом масштабе, мы можем считать ее фрактальной кривой.

Это локальное самоподобие позволяет обобщить одно свойство бифуркации Мирберга, о котором сообщают Гроссман и Томэ [179], а также Фейгенбаум [142]. Длины отрезков, отсекаемых все уменьшающимися отростками на вещественной оси λ и μ , образуют убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом δ=4,66920... (см. [83]). Первоначально считалось, что существование коэффициента δ обусловлено особенностями аналитического метода. Рассмотренный в новом свете показатель δ оказывается связан с более широким свойством фрактального скейлинга.