Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Рис. 268 и 269. Сепараторы отображений z→λz(1−z) и z→z 2 −μ

Рис. 268 (внизу). μ - отображение.Значения μ внутри замкнутой черной области, ограниченной фрактальной кривой, таковы, что итерации точки z 0 =0 при отображении z→z 2 −μ не уходят в бесконечность. Большая точка заострения соответствует точке μ=−1/4 , а самая правая точка – точке μ=2 .

Рис. 269 (вверху). λ - отображение.Значения λ внутри замкнутой черной области и внутри пустого диска удовлетворяют неравенству Reλ>1 и таковы, что итерации точки z 0 =1/2 при отображении z→λz(1−z) не уходят в бесконечность. Полное λ - отображение симметрично относительно прямой Reλ=1 .

Диск |λ−2|≤1 и диск |λ|≤1 без точки λ=0 .Значения λ внутри этих областей таковы, что итерации точки z 0 =1/2 сходятся к некоторой ограниченной предельной точке.

Корона и отростки.Снаружи пустых дисков λ - отображение образует «корону». Она разбивается на «отростки», «корнями» которых являются «принимающие связи», определяемые как точки вида λ=exp(2πim/n) , где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1.

Рис. 268 (вверху).На рисунке показана часть инверсии λ - отображения относительно точки λ=1 . Если внимательно рассмотреть на λ - отображении отростки, корни которых имеют вид λ=exp(2πi/n) , может сложиться впечатление, что «соответствующие точки» лежат на окружностях. Рисунок подтверждает истинность этого впечатления. Правильность других кажущихся окружностей подтверждается с помощью других инверсий.

Молекулы – острова.Многие «пятна», возникающие при вышеописанных отображениях, представляют собой истинные «молекулы – острова», о которых впервые сообщается в [398]. Форма такой молекулы идентична форме всего μ - отображения целиком, если не учитывать нелинейного искажения.

Сепаратор, основания и деревья.Граница заполненной черной области при λ и μ - отображениях является связной кривой; так как эту кривую обнаружил я, моим долгом было дать ей имя – я назвал ее сепаратором S . Множество внутри ограниченной этой кривой области разбивается на открытые атомы (см. текст). Обозначив период атома через w , определим его основание как кривую, на которой значение f *' w(z μ) вещественно.

Основания, лежащие на вещественной оси, известны в теории самоотображений как интервал [0,1], а их замыкание – как интервал [-2,4].

Словом, я обнаружил, что замыкание других атомных оснований разбивается на совокупность деревьев, каждое из которых укореняется на принимающей связи. В каждой точке такого дерева мы имеем несколько степеней ветвления – степень ветвления для концов ветвей плюс порядки бифуркации, ведущей к корню дерева. Кроме того, когда корень дерева приходится на атом-остров, сюда следует добавить порядки бифуркации, ведущей от дисков |λ−2|≤1 и |λ|≤1 к этому атому.

Рис. 269 (внизу слева).Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/3) . Множество внутри S представляет собой предел областей вида f n (1/2) , границами которых являются алгебраические кривые, называемые лемнискатами. Показано несколько таких областей, совмещенных друг с другом. При больших n области, равно как и само λ - отображение, выглядят несвязными; в действительности, они связаны, но вне сетки, использованной при вычислениях.

Рис. 269 (внизу справа).Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/100) . У этого стократно ветвящегося дерева и у z - отображения на рис. 270 имеется несколько весьма удивительных общих свойств.

Рис. 271 и 270. Самоквадрируемые драконы; приближение к «пределу Пеано»

Каждая самоквадрируемая кривая привлекательна по-своему. Я, например, нахожу самыми привлекательными «драконов», изображенных на этих рисунках и на рис. С5.

Драконья линька.Дракон, возводящий сам себя в квадрат, представляет собой совершенно бесподобное зрелище! Чудовищная «линька» отделяет бесчисленные складки от кожи на брюхе и спине дракона. Затем она растягивает шкуру на брюхе и спине так, что ее длина – которая, разумеется, и без того бесконечна – увеличивается вдвое! Затем шкура вновь складывается вдоль спины и брюха. И наконец, на последнем этапе, все складки аккуратно водворяются на новые места.

Фрактальная геральдика.Не следует путать самоквадрируемых драконов с самоподобным драконом от Хартера и Хейтуэя (рис. 101 и 102). Читателю предоставляется прекрасная возможность развлечься, отыскивая немногие сходные черты и многочисленные различия.

Последовательные бифуркации.Наилучшие самоквадрируемые драконы получаются, когда точка λ располагается в отростке (см. рис. 269), который соответствует значению θ/2π=m/n , где m и n - малые целые числа. При бифуркации заданного порядка n вокруг каждой точки сочленения появляется драконьих голов – или хвостов, если хотите. Вторая бифуркация порядка m'/n' разбивает каждую из этих областей на n' «сосискообразных» связей и еще более утончает их.

Чтобы получить умеренно упитанного дракона – ни чрезмерно тучного, ни слишком костлявого, - следует поместить точку λ внутри отростка на некотором расстоянии от его корня. Красиво перекрученные драконы получаются, когда точка λ лежит около одного из двух суботростков, соответствующих порядку бифуркации от 4 до 10: один из суботростков дает изгиб влево, другой – вправо.

Рис. 271 (вверху справа). «Истощенный дракон».Дракон, испытавший на себе бесконечное число бифуркаций, теряет всю свою плоть и ссыхается в скелетообразную разветвленную кривую.