Маркос Санчес - Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Само слово «музыка» берет начало от греческого термина musika, что значит «имеющее отношение к музам». В греческой мифологии музы были богинями — покровительницами музыки, танца, астрономии и поэзии. Можно сказать, что музыка эфемерна и существует только в памяти: она развивается во времени и неуловима. Эти ее качества, среди прочих, придают музыке несколько магический оттенок, который заставил человека использовать ее в своих ритуалах с древнейших времен и сделал ее важнейшим компонентом религиозного культа. Музыка заняла в космосе Пифагора и пифагорейцев центральное место.

Согласно легенде, идя однажды по дороге, мудрец с Самоса услышал удары молота, доносившиеся из кузницы. Он подошел поближе и увидел, что звук рождается из вибрации металла под ударами инструмента; более длинные куски издавали более низкие звуки. После этого наблюдения он стал ставить эксперименты с колоколами и кувшинами с водой и занялся изучением вибраций струн на лире и монохорде — инструменте с одной струной, изобретение которого приписывают Пифагору, — пока не открыл общих отношений между длиной вибрирующего участка струны и высотой звука.

Вероятнее всего, все происходило не так, как рассказывает легенда, хотя во многих источниках Пифагор действительно именуется изобретателем музыкального искусства, которому он приписывал благотворное влияние на людей. Ученый изучал законы акустики и первый нашел отношения между числами и гармоническими звуками, то есть теми, одновременное звучание которых приятно для слуха. Он оставил миру первую математическую теорию музыки и тем самым сделал шаг в направлении устранения произвольных суждений в исследованиях природы и к сведению хаоса к понятной и упорядоченной модели. Перевод музыки в числовые соотношения стал возможен, когда были установлены два факта:

— звук, получаемый при щипке струны, зависит от длины струны;

— гармонические звуки производятся при равном натяжении струн, соотношение длин которых выражается целыми числами.

Пифагорейцы тщательно изучали звуки единственной струны монохорда, изменяя ее длину так, как прижимаются струны на современной гитаре. Варьируя длины струны, они получали разные музыкальные ноты. Чем короче струна, тем выше была нота. Затем, при сравнении пары звуков, произведенных струнами различной длины, они открыли нечто удивительное: деление длинной струны на малые числа — надвое, на одну треть, на две трети от первоначальной длины — производило гармонично сочетающиеся звуки, то есть звуки, приятные для слуха. Таким образом, длины струны, соответствующие каждому гармоническому сочетанию звуков, можно выразить соотношением целых чисел. Благодаря этому наблюдению пифагорейцам удалось выстроить математическую модель физического феномена, опираясь, прежде всего, на свое эстетическое чувство — нечто похожее на то, что произошло с золотым сечением в рамках формирования концепции красоты в эпоху Возрождения.

Гармонические отношения, интервалы, которые нашли пифагорейцы, сегодня изучаются в каждой музыкальной школе:

— октава: самый простой интервал, который получается, если струну прижать на середине ее длины или же ущипнуть две с равной силой натянутые струны, одна из которой вдвое короче другой. Это соотношение в числовом виде выражается как 2:1. На музыкальном языке «интервал между двумя одинаковыми нотами составляет октаву»: например, это расстояние между нотой до и следующим до;

— квинта: это такое гармоническое отношение, когда струна прижимается в точке, находящейся на одной трети от всей длины струны, или же когда звучат две струны с соотношением длин 3:2. В этом случае более короткая струна производит ноту на квинту выше, чем более длинная (к примеру, интервал между до и соль)]

— кварта: сочетание, в котором струна зажимается на расстоянии одной четверти всей длины или же когда звучат две струны с соотношением длин 4:3, и тогда на музыкальном языке говорят об интервале кварта (скажем, интервал между до и фа).

Октава,квинта и кварта — три музыкальных интервала, открытые пифагорейцами, — показаны в соотношении к соответствующим частям полной длины струны.

Таким образом, музыкальные интервалы в зависимости от пропорций деления струны, выраженных в формуле

(n+1)/n

гармоничны и приятны для слуха. На основании этого факта пифагорейцы заявили о существовании прямой связи между числом и гармонией. Они составляли свои звуковые ряды, основываясь на простых числовых соотношениях между различными звуками. Так, пифагоров ряд базируется на двух самых простых интервалах — октаве с соотношением 2/1 и квинте с соотношением 3/2. Пифагорейцы получали различные ступени звукоряда, связывая квинты и прибегая к тому, что называется перенесением на октаву, то есть деля и умножая на 2, чтобы расположить получаемые ноты в необходимом порядке.

Этот процесс выглядит так (взяв за первый звук до, можно получить подобным образом весь звукоряд начиная с любой ноты). Прежде всего высчитывается первая восходящая квинта для получения соль. Следующая восходящая квинта даст нам ре, а далее — ля, ми и си. Отсчитав теперь нисходящую квинту от начального до, мы получим фа. Таким образом строятся семь нот звукоряда:

фа ← до → соль → ре → ля → ми → си.

Продолжая откладывать квинты, можно получить 12 звуков хроматической гаммы, которая называется также додекафонической, потому что содержит 12 полутонов западного темперированного звукоряда. Это наиболее используемая система гармонического строя в западной музыке. Она основывается на темперированном полутоне, который равен 1/12 части октавы и в числовом выражении составляет корень 12-й степени из двух. Он, в свою очередь, делится на 100 центов (цент — это сотая доля полутона),

соль |>← ре |>→ ля |>← ми |>← си |>← фа ← до → соль → ре → ля → ми → си → фа #,

В музыке цент — безразмерная логарифмическая единица отношения двух частот или значений границ музыкального интервала. Цент равен 1/100 полутона — это настолько малое значение, что оно находится за пределами человеческого восприятия. С учетом того, что 12 полутонов составляют одну октаву, цент — это такое число, что:

(с 100) 12= 2 => с 1200= 2 => с = 1200√2.

где символы бемоль (|>) и диез (#) обозначают, соответственно, звуки на полтона ниже или выше обозначенных. Получив 12 нот с помощью откладывания квинт, достаточно будет расположить звуки в пределах одной октавы путем перенесения на октаву.

После изложения необходимых предварительных принципов можно определить положение каждой ноты с помощью умножения квинт и перенесения на октаву, учитывая, что (напоминаем) значение пропорции частот будет 1 для отношения ноты до к самой себе и 2 — для отношения до и до следующей октавы. Прежде всего, определяется нота соль, которая отстоит на квинту от до: