Маркос Санчес - Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

соль = 3/2 от до

или, проще:

соль = 3/2.

Далее определяется ре, которое находится на квинту от соль. Она получается умножением на 3/2 и перенесением на октаву, то есть умножением на 1/2 или делением на 2. Расстояние от до до ре называется тоном. Тон — типичная дистанция между двумя нотами в темперированной системе, соответствующая одной седьмой октавы и, логичным образом, делящаяся на два полутона. Выполнив простейшие умножения, мы получаем интервал от до до ре:

ре = соль · 3/2 · 1/2 ре = 3/2 · 3/2 · 182 ре = 9/8.

22 222 8

После этого так же определяется ля, отстоящее от ре на квинту:

ля = ре · 3/2 ля = 9/8 · 3/2 · 1/2 ля = 27/16.

Ми находится через квинту от ля, но необходимо перенесение на октаву:

ми = ля · 3/2 · 1/2 ми = 27/16 · 3/2 · 1/2 ми = 81/64.

Ряд завершается си , отстоящим на квинту от ми , и фа , на квинту вниз от до , перенесенного на октаву вверх (то есть умноженного на 2). Так образуется то, что в наши дни известно как квинтовый круг , представленный на рисунке.

Таким образом, если принять для до значение 1 получается следующая таблица.

Этот процесс можно продолжать далее для определения нот, обозначенных на фортепьяно черными клавишами, или бемолей, продвигаясь вниз по квинтам, начиная с фа .

Поднявшись на квинту от си, мы получаем фа#, которое должно бы быть тем же звуком, что и соль|> после соответственного перенесения на октаву. Однако это разные звуки: разница между фа# и соль|> называется пифагоровой коммой. Таким же образом, после перенесения на октаву звуки фа# и ре|> находятся друг от друга на расстоянии точной квинты, но образуют интервал, который отличается от квинты на пифагорову комму. Такая квинта чуть меньше и называется «волчьей квинтой».

Структура квинтового круга представляет собой комбинацию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте, почти идентичной начальной, но через семь октав, как это показано на клавиатуре.

Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вычислить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту ƒ и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:

CR = ƒ · (3/2)12/(ƒ · 27 ) = 1, 013643265.

Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь, которой выражается квинта, несовместима с октавой, что можно легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие значения х и у, которые позволяли бы увязать эти дроби:

(3/2) x= 2 y=> 3 x/2 x= 2 y=> 3 x= 2 x+y.

Как видим, необходимо найти число, которое было бы одновременно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые, существование такого числа противоречило бы фундаментальной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать, что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сойдутся, то есть существование хроматического звукоряда без пифагоровой коммы невозможно.

Греки называли ноты первыми буквами ионийского алфавита, присвоив отдельную букву каждому полутону и каждому звуку, повышенному на октаву. Наше фа обозначалось как а, повышенное фа — как β (бета), фа, повышенное на две ступени, — γ (гамма).

Пифагор не только был очарован мистикой натуральных чисел, на него большое влияние оказали открытия, связанные со средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим, что можно увидеть на схеме справа. Таким образом, 3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:

1 - 3/4 = 3/4 - 1/2.

а 2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:

(1 - 2/3)/1 = (2/3 - 1/2)/(1/2).

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2 и 2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) производят приятные звуки, и из этого факта вывел звукоряд, о котором мы уже говорили. Назвал он эти интервалы диапазон, диапенте и диатессарон, а сегодня они известны как октава, квинта и кварта. Можно заметить отсутствие здесь среднего геометрического: возможно, Пифагор отказался от него, потому что столкнулся с проблемой высшего порядка, и весьма серьезной, как мы покажем дальше. Операция со средним геометрическим приводит к появлению несоизмеримых чисел и в точности соответствует повышенному фа хроматического ряда.

Римляне также использовали для записи музыкальных звуков первые буквы своего алфавита. Римский философ Боэций (480-525), автор «Утешения философией», взявшийся за задачу совместить философские школы Платона и Аристотеля, создал трактат о теории музыки. В этой книге, известной под латинским названием De musica («О музыке»), он предлагает звукоряд из 15 нот, представляющих две октавы, игнорируя циклический принцип построения октав.

Этот принцип вспомнят позже, обозначая одними и теми же буквами одинаковые ноты разных октав. Так называемая немецкая, или английская, номенклатура ввела для семи нот главной октавы большие буквы от А до G, следующей октавы — маленькие буквы от а до g, третьей октавы — двойные маленькие буквы ( аа, bb, сс, dd, ee, ff, gg). Таким образом, семь из 12 звуков, соответствующие нынешним белым клавишам фортепьяно, получили собственные имена. Остальные пять были названы позже, после появления концепции бемолей, бекаров и диезов. Их названия основаны на названиях основных семи.

«Рука Гвидо», как она изображена в работах бенедиктинского монаха.

В XI веке тосканский монарх Гвидо д’Ареццо (ок. 995-1050) значительную часть времени посвятил тому, чтобы создать мнемонические правила для исполнителей музыки. Самое, пожалуй, известное из них называется «рука Гвидо», в соответствии с которым ноты располагаются в алфавитном порядке на кисти руки. Гвидо д’Ареццо даже переименовал ноты, присвоив каждому звуку слог из широко известного в то время гимна Иоанну Крестителю: «Чтобы слуги твои голосами своими смогли воспеть чудные деяния твои, очисти грех с наших опороченных уст, о Святой Иоанн», что на латыни звучит следующим образом: