Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Где в этой схеме находится ℝ? Мы выяснили, что Но можем ли мы определить мощность ℝ в точности? Сколько всего действительных чисел?

Вообразите: вы переступаете порог великолепного сооружения. За огромными воротами – мраморная лестница, ведущая в дивные палаты. Но стоит вам открыть дверь в подвал, как картина резко переменится. Там вы обнаружите ржавые трубы, искрящую проводку, бьющий в глаза электрический свет и разбитый пол, а может, и скопища тараканов. Подвал ужасен, но здания наверху без него не было бы.

Это хорошая метафора для сооружения под названием «математика». Как мы уже говорили в начале главы, все объекты в математике (от чисел до кругов) можно определить через другие объекты, попроще. Рано или поздно мы дойдем до самого дна и обнаружим объект, через который объясняются все другие. Это и будет множество .

Мы определили множество как набор объектов [89] Этот подход, известный как наивная теория множеств, использовал Кантор и другие математики. , но не сказали, что такое набор (в общем-то, это просто другое слово вместо «множества»), и не задались вопросом, какого рода объекты мы собираем вместе (и даже не дали определение объекта). Как нам выпутаться из этой ситуации?

Вначале математики относились к ней довольно беззаботно. Говорили просто: есть такая штука – множество и есть свойство «быть элементом множества», которое обозначают символом, а раз так, то можно двигаться дальше [90] Может ли одно множество быть элементом другого? Разумеется! Скажем, множество {1, 2} входит во множество {0, {1, 2}, 3, 6, 7}. В этом множестве пять элементов: числа 0, 3, 6, 7 и множество {1, 2}. . Но все это рано или поздно приводит к затруднениям.

Первое множество, приходящее нам в голову, – пустое множество . Там нет никаких элементов, и мы обозначаем его символом ∅. Мощность пустого множества равна нулю, и утверждение x ∈ ∅ ложно для любого x (потому что внутри ∅ ничего нет).

Дальше нам приходит в голову, что множества можно характеризовать через свойства их элементов. Например, множество четных чисел задают следующим образом:

Форма записи { x | свойства x } определяет множество всех объектов, обладающих указанными свойствами.

А дальше возникает уйма сложностей.

В начале XX века философ и математик Бертран Рассел [91] Одно из многочисленных достижений Рассела – Нобелевская премия по литературе за 1950 год. размышлял о множестве A = { x | x – такое множество, что x ∉ x }.

Это множество всех множеств, чьими элементами не являются они сами. Например, пустое множество удовлетворяет условию: ∅ ∉ ∅, потому что пустое множество не содержит элементов. Таким образом, ∅ ∈ A .

Дальше Рассел задал роковой вопрос: входит ли множество A во множество A ?

• Если ответ «да», то A ∈ A . Но тогда не выполняется условие попадания во множество A : оно не должно быть элементом самого себя.

• Если ответ «нет», то A ∉ A . Тогда выполняется условие попадания во множество A , и оно является элементом самого себя.

Если A ∈ A , то A ∉ A . Если A ∉ A , то A ∈ A . Но не может же такого быть, что A и входит, и не входит в A ! Что-то пошло не так [92] Этот парадокс называют антиномией Рассела. .

Одно из решений этого противоречия заключается в том, что множества A просто не существует. Нет его, и все тут.

После работ Рассела подход к теории множеств претерпел существенные изменения. Четкие, ясные, применимые на практике правила закрепили, как формировать множества и какие операции с ними можно совершать [93] Этот подход известен под названием «аксиоматическая теория множеств». Общепринятые правила поведения и формирования множеств названы в честь своих создателей, Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Абрахама Френкеля (Abraham Fraenkel): ZF-аксиомы. . Определение множества и ∈ входит в свод правил непрямым образом. Мы не объясняем, что́ это; мы просто описываем, как оно себя проявляет. Мы говорим, что есть такие вещи, как множества, у них есть определенные свойства, а еще есть правила, по которым мы с ними работаем. Эти правила не позволили парадоксу Рассела вздыбить свою безобразную голову, и противоречий больше не возникало.

Но вернемся к вопросу: сколько всего действительных чисел? Мы знаем, что мощность множества положительных целых чисел равна И мы знаем, что Следует ли из этого, что Иными словами, существуют ли множества, чья мощность больше, чем ℤ +, но меньше, чем ℝ? [94] Если хоть одно такое множество существует, |ℝ|> алеф_1 . – Прим. науч. ред. Кантор верил, что но не мог найти доказательство; свое предположение он назвал континуум-гипотезой . Многие ученые заинтересовались этим вопросом. В 1900-е годы немецкий математик Давид Гильберт составил перечень важнейших математических проблем наступающего XX века. Доказательство (или опровержение) континуум-гипотезы вошло в его перечень первым номером.

Эту главную для Гильберта проблему разрешили неожиданным образом. Короткий, но исчерпывающий ответ звучит следующим образом: «Может быть и так, и этак».

Ну и ну! Математику ценят за то, что на все вопросы (обычно) находится точный ответ. «Может быть и так, и этак» разрушает определенность. Как с этим жить?

Работы Курта Гёделя (1940-х годов) и Пола Коэна (1960-х) показали, что общепринятые правила аксиоматической теории множеств неполны и потому не позволяют ответить на поставленный вопрос. Точнее говоря, эти математики продемонстрировали: нельзя ни доказать, ни опровергнуть то, что существуют множества, чья мощность больше, чем ℤ +, но меньше, чем ℝ. Другими словами, можно принять или допущение или допущение Дальше мы получим две разные математические системы. Обе корректны, просто непохожи друг на друга.