Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Гиперболическая геометрия

Математики помешаны на определениях. Мы требуем, чтобы все концепции базировались на кристально ясных, недвусмысленных определениях. Потому любая математическая идея основана на более простых идеях. Треугольник состоит из отрезков. Рациональные числа – это отношения целых чисел.

Спускаясь с башни математических определений, рано или поздно мы дойдем до фундамента. Для греков в основании всего лежала геометрия [187] Все здание современной математики покоится на концепции множеств – неупорядоченного набора объектов (см. главу 8). .

Евклид не пытался дать определения базовым геометрическим объектам – точке, прямой линии, плоскости [188] На самом деле «Начала» Евклида открывает именно раздел определений основных объектов. Например: «точка есть то, что не имеет частей»; «линия – длина без ширины»; «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину»; «плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях». См.: Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. – М. – Л.: ГТТИ, 1949–1951. – Прим. пер. . Он поступил иначе: принял за данность определенные фундаментальные свойства, которыми обладают эти объекты. Тезисы Евклида называют постулатами , или аксиомами .

Чтобы дать старт геометрии, Евклид сформулировал пять основных постулатов. В грубом переводе они звучат так:

1. Если даны две точки, есть одна и только одна прямая, проходящая через эти точки.

2. Если дан отрезок, его можно неограниченно продолжать по прямой.

3. Если дана точка и отрезок, есть одна и только одна окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

4. Любые два прямых угла [189] Евклид определял прямой угол следующим образом: это один из углов, возникающих в том случае, если две прямые пересекаются и все четыре получившихся угла равны. равны между собой.

5. Если две прямые пересекают данную прямую и внутренние углы, получившиеся при пересечении, вместе меньше двух прямых углов, эти две прямые рано или поздно пересекутся (см. рисунок).

Первые четыре постулата просты, их легко понять. Но пятый вносит некоторую неразбериху. Подумаем, о чем он говорит.

Обозначим исходную прямую L 0, а две другие – L 1и L 2. Прямые L 0и L 1, а также L 0и L 2пересекаются под некоторыми углами.

Постулат требует от нас рассмотреть ситуацию, при которой внутренние углы (лежащие по одну сторону от L 0) меньше прямых. Стрелочки на рисунке указывают на углы, которые имел в виду Евклид. Они лежат по одну сторону L 0и обращены друг к другу.

Переходим к сути постулата. Если эти два угла меньше прямых, L 1и L 2вынуждены пересечься. Точки пересечения нет на рисунке, но несложно видеть, что прямые действительно неминуемо встретятся.

Приняв эти пять постулатов за данность, Евклид перешел к доказательству сонма дивных теорем.

Пятый постулат Евклида кажется неуклюжим. Его неприглядность контрастирует с изяществом и простотой первых четырех постулатов. Математика основана не только на практике, но и на эстетике, поэтому формулировка Евклида взывает к редактуре.

Мы предлагаем вашему вниманию более простой вариант.

5'. Если дана прямая и точка, не лежащая на данной прямой, есть одна-единственная прямая, проходящая через данную точку и не пересекающая ее.

Эта альтернативная версия пятого постулата Евклида известна под названием постулат о параллельных прямых [190] Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения. Мы использовали эту аксиому, когда доказывали, что сумма углов треугольника равна 180°. . Посмотрим, что он означает.

Нам даны прямая L и точка P , не лежащая на ней. Посмотрите на рисунок. Постулат 5' утверждает, что существует другая прямая, проходящая через точку P и параллельная данной (обозначена пунктирной линией), причем одна-единственная.

Математики показали, что пятый постулат Евклида и постулат о параллельных прямых эквивалентны. Это означает, что теоремы, которые мы можем доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5, – те же самые, что можно доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5'.

Несмотря на то что формулировка 5' несколько проще, чем 5, все же она не настолько изящная и блестящая, как первые четыре. Можно ли избавиться от нее? Можно ли доказать постулат о параллельных прямых как теорему и не принимать в качестве фундаментального утверждения?

Постулат о параллельных прямых накладывает два условия: во-первых, существует прямая, проходящая через точку P и не пересекающая прямую L ; во-вторых, все другие прямые, проходящие через эту точку, будут пересекать L .

Естественный способ справиться с проблемой – попробовать доказательство от противного . Мы обсуждали этот метод в главе 1. Вот его логика.

(A) Чтобы доказать существование прямой, проходящей через точку P и параллельной L , предположим, что такой прямой не существует.

(B) Чтобы доказать единственность этой прямой, предположим, что существуют две или больше прямых, проходящих через P и параллельных L .

Дальше мы выстраиваем цепочку умозаключений, пока не дойдем до противоречия. Оно свидетельствует о фундаментальной ошибочности утверждения (A) или (B) – смотря что мы предположили:

• Если предположение об отсутствии вышеописанной прямой приводит к противоречию, она существует.

• Если предположение о существовании нескольких вышеописанных прямых приводит к противоречию, такая прямая единственная.

Математики бились как проклятые – и потерпели поражение. Говоря точнее, результат казался диким (треугольник с суммой углов не 180°), но противоречия в нем не было.

Ничего страшного. Математики не тешат себя надеждой, что могут справиться с любой проблемой, встающей на их пути. Мы продолжаем работать как проклятые и передаем пас следующим поколениям, уповая, что у наших преемников возникнут идеи получше.

В случае постулата о параллельных прямых идеи получше возникли, но не такого рода, как можно было ожидать [191] Большинство математиков полагало, что замена постулата о параллельных прямых приведет к противоречию. Николай Лобачевский, математик из России, живший в XIX веке, показал, что предположение (B) ведет не к противоречию, а к геометрии нового типа, названной в его честь геометрией Лобачевского. .