Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

(Должен заметить, что десятичные дроби, которыми вы пользуетесь ежедневно, тоже представляют собой замаскированные соотношения целых чисел. Скажем, 0,71 доллара — это просто 71/ 100доллара.)

Но некоторые дикие экзотические числа не подпадают ни под одну из этих категорий. В них не просто нет цельности — охотясь за ними, мы попадаем мимо цели: их нельзя записать в виде дроби. (Мой 12-летний ученик Адам, чей интеллект блистательнее моего, назвал их «неудробноваримыми» [39] В тот же день мой 11-летний ученик Гарри на мою приветственную реплику: «Ну, как ваш синус-косинус?» — откликнулся: «Сикось-накось!» Я же говорил, преподавать — это кайф. ). Вы не сможете подстрелить эти числа обыкновенной или десятичной дробью. Они будут постоянно ускользать.

Именно таким и оказывается — число, при умножении само на себя дающее 2. Присмотримся к нему.

Нет подходящей десятичной дроби, которая в точности равна и подходящей обыкновенной дроби тоже нет. 7/ 5? Близко. 141/ 100? Ближе. 665 857/ 470 832? Так близко, что ответ уже маячит где-то рядом. Но мы никогда не найдем точного ответа. Никогда в точности не будет

не просто иррациональное число. Наряду с π это одно из самых знаменитых иррациональных чисел в математике. По легенде, пифагорейцы, исповедующие культ разума, были настолько ошеломлены, узнав о невозможности записать в виде дроби, что утопили математика, который сообщил об этом открытии.

Если производители бумаги в Европе стремятся к они никогда не смогут достичь своей цели. Говоря языком, который поймут мои британские коллеги: это чертовски недальновидно, не правда ли?

Несколько дней я пребывал в состоянии обостренного раздражения. Дурацкие листы, притрагиваться гадко, словно к ядовитому плющу или к жвачке, прилепленной под партой. Я мрачно шутил по этому поводу; расчет был в том, что эти колкости очаровательно меланхоличны, но в них была такая доза горечи, что слышавшие их отшатывались.

А потом я осознал, что ошибался.

Конечно, я пришел к этому выводу не самостоятельно. Такого у меня не бывает. Наоборот, кое-кто указал мне на замечательные свойства формата A4.

Он составляет часть команды.

Он ровно в два раза больше A5, вчетверо больше А6 и в восемь раз больше пригожей малышки А7. Кроме того, А4 — это ровно половина А3, четверть А2 и одна восьмая впечатляющего великана А1.

Формат US Letter играет по своим собственным правилам, как и подобает в той индивидуалистической культуре, где его используют. Наш формат, «восемь с половиной на одиннадцать», никак не соотносится с бумагой меньшего и большего размера. Он такой один [40] Я зашел чересчур далеко, ревностно защищая формат бумаги А4. Возможно, потому-то меня и прозвали «неистовый Орлин». (NB: пожалуйста, никогда не называйте меня «неистовый Орлин».) Я сказал, что формат бумаги 8,5 на 11 дюймов никак не соотносится с другими форматами, но это клевета. Удвоение листа дает формат побольше (11 на 17 дюймов), располовинивание листа дает формат поменьше (5,5 на 8,5 дюймов). В этом смысле наш формат ничем не хуже A4. Но есть одна загвоздка. В формате 8,5 на 11 дюймов одна сторона длиннее другой в 1,29 раз; в соседних форматах это соотношение составляет 1,55. Короче говоря, они имеют разную форму. Если вы когда-нибудь пытались уменьшить или увеличить масштаб ксерокопии, вы понимаете, какую головную боль вызывает это обстоятельство. Так чем же уникальна серия форматов A1, А2 и так далее? Своей пропорциональностью. Листы бумаги в этой славной череде представляют собой подобные друг другу прямоугольники, отмасштабированные версии своих собратьев. Я все это знал, когда работал над главой, но все же слишком далеко зашел в пылу риторики. Я благодарю Джо Суини за эту поправку и приношу свои извинения формату 8,5 на 11 дюймов: конечно, он по-прежнему неполноценен, но все же не настолько плох, как я предполагал. .

Напротив, универсальный формат бумаги построен на глобальных взаимосвязях, как и сам глобальный мир. А4 принадлежит к унифицированной серии форматов: у них различные размеры, но одинаковые пропорции [41] Еще одна отрада в том, что площадь любого листа А1 в точности равна 1 м 2 , и лист очередного формата вдвое меньше предыдущего по площади. Таким образом, восемь листов А4 имеют общую площадь в точности 1 м 2 (хотя нет, не в точности… из-за иррациональности). .

Вы понимаете, насколько это восхитительно, если постоянно пользуетесь бумагой — скажем, если вы учитель математики. Вы можете разрезать лист пополам и получить два листа формата А5. Или сложить два листа вместе и получить лист формата А3. Бесчувственных и равнодушных людей, которые прожигают жизнь на пляжах, в ночных клубах и французских ресторанах, возможно, это не воодушевит. Но поклонник канцтоваров испытывает трансцендентный трепет. Эта бумага имеет смысл.

Когда я осознал это, то увидел, что промах — вовсе не промах. Это было неизбежно. Единственный способ заставить эту заколдованную матрешечную систему бумаг работать эффективно.

Чтобы понять, почему это так, представим себе следующую сцену.

Красавцы Гвен и Свен, бумаговеды, работают над сверхсекретным исследовательским проектом. Его кодовое название — «Бумага для универмага» или, возможно, «Бумага и отвага» — в зависимости от того, что звучит круче с учетом их неуловимого иностранного акцента. Уже поздно. Они измотаны, но преданы делу.

Гвен . Ну хорошо, Свен. Возможно, я не знаю в точности наших национальностей, но я знаю одно: судьба цивилизации зависит от того, способны ли мы создать серию бумажных листов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.

Свен . Ставки предельно высоки. Но… какие размеры будут иметь эти бумажные листы?