Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

И последний урок. В математическом моделировании, как и во всей науке, всегда нужно выбирать, что подчеркивать, а чем пренебречь. Искусство абстрагирования заключается в понимании того, что существенно, а что нет, где сигнал, а где шум, что составляет тенденцию, а что – всего лишь колебания вокруг. Это искусство, потому что в таком выборе всегда присутствует элемент опасности; ведь он подходит довольно близко к принятию желаемого за действительное и интеллектуальной нечестности. Величайшие ученые, такие как Галилей и Кеплер, сумели пройти по краю этой пропасти.

Пикассо говорил: «Искусство – это ложь, которая заставляет нас осознать правду» [195]. То же самое можно сказать об анализе как модели природы. В первой половине XVII века он стал использоваться как мощная абстракция движения и изменения, а во второй его половине те же виды творческого выбора – ложь, раскрывающая правду, – подготовили почву для революции.

Во второй половине XVII века Исаак Ньютон [196]в Англии и Готфрид Лейбниц в Германии навсегда изменили путь развития математики. Они взяли лоскутное одеяло идей о кривых и движении и превратили его в единое полотно математического анализа.

Когда Лейбниц в 1673 году ввел слово calculus (исчисление), он использовал с ним неопределенный артикль, а иногда говорил более ласково – «мое исчисление». Ученый употреблял это слово в общем смысле, как систему правил и алгоритмов для выполнения вычислений. Позже, когда его система стала более отлаженной и отшлифованной, артикль стал определенным. Однако сейчас, к сожалению, все артикли и притяжательные местоимения исчезли, осталось просто слово calculus , банальное и скучное.

Не только артикли, но и само слово calculus может рассказывать интересные истории. Оно происходит от латинского корня calx , означающего маленький камешек – напоминание о тех временах, когда ученые использовали камешки для подсчета, а значит, и для вычислений. Этот же корень дает такие слова, как calcium (кальций) и chalk (мел). Ваш дантист может применять это слово для обозначения зубного камня. Врачи употребляют его для желчных камней, камней в почках или в мочевом пузыре. По иронии судьбы, оба пионера анализа – и Ньютон, и Лейбниц – умерли в мучительных болях, страдая от камней: у Ньютона были камни в мочевом пузыре, а у Лейбница – в почках…

Хотя при исчислениях когда-то использовались камешки, ко времени Ньютона и Лейбница исчисление вовсю занималось кривыми и их новомодными исследованиями с помощью алгебры. Тридцатью годами ранее Ферма и Декарт открыли, как использовать алгебру для нахождения максимумов, минимумов и касательных к кривым. Неуловимым оставалось поиск площадей кривых, или, точнее, площадей фигур, ограниченных кривыми.

Задача площади , изначально называемая квадратурой, или квадрированием кривых, поглощала и разочаровывала математиков два тысячелетия. Для отдельных частых случаев было придумано множество хитроумных трюков – от работ Архимеда по определению площади круга и квадратуры параболы до нахождения Пьером Ферма площади под кривой y = x n . Однако в этих попытках не было системы. Задачи с областями решались по ситуации, от случая к случаю, как если бы математик каждый раз начинал работу заново.

С теми же сложностями математики сталкивались при определении объемов криволинейных тел и длин различных дуг. Даже Декарт полагал, что определение длины дуги выше человеческого понимания. В своей книге по геометрии он писал: «Отношение, существующее между прямыми и кривыми линиями, не известно человеку и даже, по моему мнению, не может быть известно» [197]. Все подобные задачи – длины кривых, площади и объемы – требуют нахождения бесконечных сумм бесконечно малых частей. Говоря современным языком, они все нуждаются в интегралах. Ни у кого не было надежной системы решения таких задач.

Именно это и изменилось после Ньютона и Лейбница. Они независимо друг от друга открыли и доказали основную теорему анализа, которая сделала эти задачи стандартными. Теорема связала площади с наклонами, то есть интегралы с производными. Это было потрясающе. Словно в романе Диккенса, два с виду далеких персонажа оказались близкими родственниками. Интегралы и производные были кровной родней.

Влияние этой фундаментальной теоремы было ошеломляющим. Почти в мгновение ока площади стали сговорчивыми. С задачами, которые ранее пытались решить гении, теперь можно было справиться за минуты. Как писал Ньютон одному своему другу, «не существует кривой, выраженной каким-нибудь уравнением… чтобы я не мог меньше чем за четверть часа сказать, можно ли ее квадрировать» [198]. Понимая, насколько невероятным может прозвучать такое заявление для современников, он продолжал: «Это может показаться смелым утверждением… но мне это очевидно по источнику, откуда я черпаю, хотя я и не берусь доказывать это другим» [199].

Секретным источником Ньютона была основная теорема анализа. Хотя ни он, ни Лейбниц не были первыми, кто ее сформулировал [200], они получили все лавры, потому что впервые доказали ее во всей полноте, осознали ее огромную пользу и важность и построили вокруг нее целую алгоритмическую систему. Разработанные ими методы стали обычным делом. Интегралы были обезврежены и превратились в домашние задания для подростков.

Прямо сейчас миллионы школьников и студентов по всему миру решают задачи по математическому анализу, считая один интеграл за другим с помощью основной теоремы. При этом многие даже не замечают подарка, который им преподнесли. И это вполне понятно – ситуация похожа на старый анекдот про рыбу, которая спрашивает свою подругу: «Разве ты не благодарна за воду?» На что вторая рыба отвечает: «А что такое вода?» Учащиеся, имеющие дело с анализом, постоянно погружены в основную теорему и поэтому, естественно, воспринимают ее как должное.

Основную теорему можно понять на интуитивном уровне, размышляя о расстоянии, которое проходит двигающийся объект, например бегун или автомобиль. Познакомившись с таким способом мышления, мы поймем, о чем она говорит, почему верна и почему так важна. Это не просто трюк для нахождения площадей. Это ключ к предсказанию будущего для всего, что нас волнует (в тех случаях, когда это возможно), и к раскрытию секретов движения и изменений во Вселенной.

Основная теорема пришла Ньютону в голову, когда он рассмотрел задачу определения площади с динамической точки зрения. Ему пришла в голову идея внести в эту картину время и движение. Пусть площадь меняется, решил он, и пусть она постоянно увеличивается.