Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

В таком виде ДУ n-го порядка может решаться стандартными средствами решения систем ОДУ, входящими в большинство математических систем.

В качестве примера аналитического решения системы дифференциальных уравнений рассмотрим постановку типичной физической задачи моделирования «Бросок камня», позволяющую описать полет камня, брошенного под углом к горизонту.

Модель должна позволять:

Вычислять положение камня в любой момент времени.

Исходные данные:

Масса камня, начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча.

На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к нашей задаче движение камня может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы, принятые для модели:

• камень будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс камня;

• движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

• движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхность Земли;

• сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.

В качестве параметров движения будем использовать координаты ( х, у ) и скорость v(v x, v y) центра масс камня.

Концептуальная постановка задачи на основе принятых гипотез заключается в определении закона движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки х 0и ее начальная скорость v 0и угол броска α 0.

Таким образом, модель является простой — объект, как материальная точка, не имеет внутренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он вполне допустим, если камень не подкручивается при броске. Пренебрежение сопротивлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систематической ошибке результатов моделирования.

Теперь перейдем к составлению математической модели объекта — совокупности математических соотношений, описывающих его поведение и свойства. Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются уравнения модели.

По оси x на камень не действуют никакие силы, по оси y — действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси x и оси y.

(7.2)

при следующих начальных условиях

Надо найти зависимости x(t), y(y), v x(r), v y(t).

Математическая постановка решения задачи в нашем случае соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Известно, что решение задачи Коши существует и что оно единственное. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна.

Решение этой задачи есть в любом учебнике физики. Тем не менее, выполним его средствами системы Maple. Из (7.2) запишем систему ОДУ первого порядка:

(7.3)

После интегрирования получим:

(7.4)

Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем:

Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична. Необходимые для расчета уравнения заданы в параметрической форме — как зависимости от времени, что, кстати говоря, облегчает моделирование по ним полета камня. Немного позже мы решим эту задачу, используя средства Maple 9.5 для решения систем дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения могут быть самого разного вида. На рис. 7.2 представлен раздел справки Maple 9.5 с классификацией дифференциальных уравнений. В ней представлено:

• 20 дифференциальных уравнений первого порядка;

• 25 дифференциальных уравнений второго порядка;

• 6 типов дифференциальных уравнений высшего порядка;

• основные функции решения дифференциальных уравнений.

Рис. 7.2. Классификация дифференциальных уравнений

Эта классификация охватывает большую часть классических дифференциальных уравнений, которые используются в математике и в математической физике. Следует отметить, что речь не идет об отдельных функциях по решению таких уравнений частного вида, а о примерах составления соответствующих уравнений и решении их с помощью небольшого числа функций системы Maple 9.5.

В качестве примера работы с классификатором выберем решение дифференциального уравнения Бернулли. Для этого активизируем на рис. 7.2 гиперссылку с его именем — Bernoulli. Появится окно справки по этому уравнению, показанное на рис. 7.3 с открытой позицией меню Edit.

Рис. 7.3. Окно справки по решению дифференциального уравнения Бернулли

С помощью команды Copy Examples в позиции Edit меню можно перенести примеры решения с окна справки в буфер Clipboard операционной системы Windows. После этого командой Paste в меню Edit окна документа можно перенести примеры в текущий документ — желательно (но не обязательно) новый. Теперь можно наблюдать решение выбранного дифференциального уравнения — рис. 7.4.

Рис. 7.4. Пример решения дифференциального уравнения Бернулли из справки