Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> RootOf(х^2+1=0,х);

> allvalues(%);

> RootOf(а*b^2+а/b,b);

> allvalues(%);

> RootOf(x^3-1,x) mod 7;

> allvalues(%);

> evalf(%);

> RootOf(х^2-2*х+1,х) mod 5;

Итак, функция RootOf является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений.

К важным достоинствам Maple относится возможность решения уравнений, содержащих специальные функции как в записи исходных выражений, так и в результатах решения. Приведем несколько примеров такого рода (файл solvesf):

> restart:eqn := Psi(3*x-99) - Psi(3*x-100) + 3/х^2=0;

> r:=solve(eqn, {х});

> eqn := max(x,3*x-12)=min(10*x+8, 22-x);

> r:=solve(eqn, {x});

> map(subs,[r],eqn);

> eqn := LambertW(3*x)=ln(x);

> r:=solve(eqn, {x});

> map(subs, [r], eqn);

> evalf(map(subs,[r], eqn));

Полезно обратить внимание на не вполне обычную проверку правильности решений. Иногда при этом выводятся значения левой и правой частей уравнения, требующие осмысления полученных результатов.

Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например > (больше), < (меньше) и т.д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции solve. При этом неравенства задаются так же, как и равенства. Приведенные на рис. 4.35 примеры поясняют технику решения неравенств.

Рис. 4.35. Примеры, иллюстрирующие решение неравенств

Из приведенных примеров очевидна форма решений — представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области действия неравенства (они указываются словом Open). Всегда разумным является построение графика выражения, которое задает неравенство — это позволяет наглядно убедиться в правильности решения.

Приведем еще несколько примеров решения неравенств в аналитической форме (файл solveu):

> solve(5*х>10,х);

> solve(5*х>=10,х);

> solve(ln(х)>2,х);

> solve(ехр(х)>10, х);

> solve(a*x>b,{х});

> eqn := abs(z)^2/(z+1) < ехр(2)/(ехр(1)-1);

> solve(eqn, {z});

> eqn := ехр(х)*х^2 >= 1/2;

> solve(eqn, {x});

> eqns := abs((z+abs(z+2))^2-1)^2 = 9;

> solve(eqns, {z});

> eqns := { х^2<1, у^2<=1, х+у<1/2 };

> solve(eqns, {x, у});

В последнем примере показано решение системы неравенств. При этом выдаются области определения нескольких переменных.

Решение функционального уравнения, содержащего в составе равенства некоторую функцию f(х), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать функцию solve, что демонстрируют приведенные ниже примеры (файл solvefe):

> A:=solve(f(х)^2-х+1,f);

> convert(A(x),radical);

> allvalues(%);

> B:=solve(f(x)*x=ln(x^2),f);

> convert(B(x),radical);

> C:=solve(f(x)*х^2=а*х^2+b*х+с, f);

> convert(C(x),radical);

Maple позволяет решать уравнения с линейными операторами, например, с операторами суммирования рядов и дифференцирования. Ограничимся одним примером такого рода (файл solvefo):

> S := sum((a+b*exp(x[i])-y[i])^2, i=0..n);

> eqns := {diff(S, a), diff(S,b)};

> solve(eqns, {a, b});

Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в формате вещественных чисел удобно использовать функцию

fsolve(eqns, vars, options)

Эта функция может быть использована со следующими параметрами:

complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме; fulldigits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией Digits;

maxsols=n — задает нахождение только n корней;

interval — задается в виде а..b или х=а..b или {x=a..b, y=c..d, …} и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.

Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры (файл fsolve):

> fsolve(sin(х)=Pi/4,х);

> fsolve(sin(х)=1/2,х=4..8);

> fsolve(2*х^2+х-1=10,x);

> fsolve(х^5-х,x);

> fsolve(х^5-х,x,complex);

> eqns := abs(x)*x+exp(x) > 0;