Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

M ( t ) = ( t − а )( t − b )( t − с ), или ( t − а )( t − b )( t − с ) ≡ ( t − x )( t − y )( t − z ) + d .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , найдем

x + y + z = а + b + с = u ,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v ,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x ³ + y ³ + z ³, выразим ее через u , v и w , осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u :

u ³ = x ³ + y ³ + z ³ + 3 uv − 3 w (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а ³ + b ³ + с ³ через u , v и w :

u ³ = а ³ + b ³ + с ³ + 3 uv − 3( w − d ). (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x ³ + y ³ + z ³ = а ³ + b ³ + с ³ + 3 d .

Ответ. а ³ + b ³ + с ³ + 3 d .

9.20.Умножив первое уравнение на ху ² z ², а второе — на x ² уz ², получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4 z ( x − y ) = 0.

Так как z ≠ 0, то x = y . Из третьего уравнения системы получаем тогда z = 1/ x ³. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4 х 4+ 1 = 0. (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ.Действительных решений нет.

9.21.Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

( x + y )² = x ² y ²/ 4.

Подставим в первое уравнение

x 4+ y 4= 17/ 4 x ² y ², т. е. ( x ² − y ²)² = 9/ 4 x ² y ²,

откуда

x ² − y ² = ± 3/ 2 ху ,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x ² − y ² = ±3( x + y ),

откуда

( x + y )( x − y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x 1= 0, y 1= 0.

Если x − y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x − 3, придем к уравнению x ² − 7 x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x 2= 1, y 2= −2;

x 3= 6, y 3= 3.

Если же x − y = −3, то аналогично получим

x 4= −2, y 4= 1;

x 5= 3, y 5= 6.

Производим проверку.

Ответ.(0, 0); (1, −2); (6, 3); (−2, 1); (3, 6).

9.22.Умножим первое уравнение на t :

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y :

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 − t = 0 и 5 − 2 t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z − t ≠ 0, z ≠ 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = 5 − 2 t / 2 − t , z = 14 − 5 t / 5 − 2 t .

Приравнивая эти выражения для z , придем к квадратному уравнению относительно t :

t ² − 4 t + 3 = 0, т. е. t 1= 1, t 2 = 3.

Итак, z 1= 3, z 2= 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ.(½, ½, 3, 1) (½, ½, 1, 3).

9.23.Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2 ху − 3 хz + 6 уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3 xz на 4 у ²:

2 ху − 4 у ² + 6 уz = 54, или ху − 2 у ² + 3 уz = 27. (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y [17] Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0. , получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x 1= 3, z 1= 4; x 2= 12, z 2= 1.

Производим проверку.

Ответ.(3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24.Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u :

u ³ = ( u + 2)( u ² − 9),

а после упрощения

2 u ² − 9 u − 18 = 0,

откуда u 1= 6, u 2= − 3/ 2.

Для первого значения u находим x ³ = 8, y ³ = 3, z ³ = 9, аналогично поступаем с u 2. Производим проверку.

Ответ.

9.25.Обозначим x 1+ x 2+ ... + x n = s . Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k , примет вид

x k ( s − x k ) + k ( k + 1) s ² = (2 k + 1)² а ²,

или

x k ² − sx k − k ( k + 1) s ² + (2 k + 1)² a ² = 0,

откуда

Возьмем для всех x k знак минус и составим сумму х 1+ ... + x n . Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h .

Остается подставить найденное значение в в выражение для x k и сделать проверку.

Ответ.