Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ.(1, −1).

11.25.Первое уравнение системы можно переписать в виде

log 8( y − x )³ = log 8(3 y − 5 х ).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y :

5( y − x )³ = (3 y − 5 х )( х ² + y ²).

Если x ≠ 0, то разделим последнее уравнение почленно на x ³ и обозначим y / x = u . Получим уравнение относительно u :

u³ − 5 u ² + 6 u = 0,

которое имеет корни: u 1= 0, u 2= 2, u 3= 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±√5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = −√5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = √5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3 x , а потому x ² = ½, откуда

x =± 1/ √2, y = ± 3/ √2

( x и y в силу равенства y = 3 x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = 1/ √2, y = 3/ √2.

Если u = 2, то y = 2 x . Из двух систем значений (−1, −2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ.(−√5, 0); ( 1/ √2, 3/ √2); (1, 2).

11.26. Способ 1.Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log 3² x − 8log 3 x + 4 = 0,

откуда x 1= 3 ⅔, x 2= 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2.Применим равенство (оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим

т. е. или

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27.Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x , либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x − y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9 y . Подставляя сюда y = 3/ x , найдем x ² = 27/ 7, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x − y < 1 выполняется.

Если x − y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = 3/ x , получим уравнение

x 4− 8 x ² − 9 = 0.

Так как x ² ≠ −1, то остается x ² = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x − y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x − y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28.Прологарифмируем и обозначим log 2 x = u , log 2( y + 1) = u :

откуда

Находим соответствующие x и y ; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ.(√2, 15); (2, 3).

11.29.Так как log a ² x = ½ log ax (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log | a | x ), а log √ b √ y = log by , то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y > 0, b > 0, b ≠ 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие , т. е. 8 а ³ > а 4, приводит к дополнительному ограничению на а : а < 8.

Ответ.При 0 < а < 1, 1 < а < 8 и при b > 0, b ≠ 1