Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

a b − сb с − aс a − b = 1.

19.4.Докажите, что если а , b , с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x ≠ 1, а , b , с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5.Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6.Докажите, что где цифра 1 повторяется 2 n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7.При каких значениях x и у последовательность а 1, а 2, а 3, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8.Пусть х 1и х 2— корни уравнения x ² − 3 х + А = 0, а х 3и х 4— корни уравнения x ² − 12 х + В = 0. Известно, что последовательность х 1, х 2, х 3, x 4является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В .

19.9.Решите уравнение

х ³ − 7 х ² + 14 х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10.В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен √2.

19.11.Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

19.12.Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

19.13.Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?

19.14.Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

19.15.Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.

19.16.Даны два числа а и b . Составим последовательность а , b , a 1, b 1, a 2, b 2, ..., а n , b n , ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17.Найдите все положительные значения а , для которых все неотрицательные значения x , удовлетворяющие уравнению

cos [(8 а − 3) x ] = cos [(14 а + 5) x ]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n ≥ p (где p — целое) справедливо...»

Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.

Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.

Теорема 1.Утверждение А справедливо для n = p .

Теорема 2.Из условия, что утверждение А справедливо для всех p ≤ n ≤ k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.

Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n ≥ p ( n , p и А — целые числа).

Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции .

С помощью метода математической индукции можно доказать формулы

20.1.Докажите неравенство

20.2.В арифметической прогрессии а 1, а 2, ..., а n первый член равен разности прогрессии: а 1= d . Считая число n данным, найдите

20.3.Найдите сумму

20.4.Найдите зависимость между натуральными n и А , если

где а ≠ 0, 1, −1.

20.5.Найдите коэффициент при х n в разложении

(1 + x + 2 х ² + ... + пх n )².

20.6.Решите неравенство

| x − 2 х ² + 4 х ³ − 8 х 4+ ... + (−2) n − 1 х n + ...| < 1.

20.7.Найдите сумму

S n = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n !.

20.8.Найдите сумму

S n = x + 4 х ³ + 7 х 5+ 10 х 7+ ... + (3 n − 2) х 2 n − 1.

20.9.Найдите сумму

S n 4 = 1 4+ 2 4+ 3 4+ ... + n 4,

считая известными формулы для S n , S n ², S n ³ (см. с. 103).

20.10.Натуральные числа разбиты на группы

(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...

Найдите сумму чисел в n -й группе.

20.11.Вычислите выражение

20.12.Найдите сумму

1 + 2 · 2 + 3 · 2² + ... + 100 · 2 99.

20.13.Найдите сумму ряда