Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.30.Первое уравнение можно привести к виду

При подстановке 2 y = π/ 4− x + k π приходится рассматривать случаи k = 2 p и k = 2 p + 1.

13.31.Относительно и и v получится система уравнений, которую удобно решить заменой v = ut .

13.32.С помощью второго уравнения выразить y через x и подставить в первое уравнение системы.

13.33.При решении системы нам придется оба уравнения возводить в квадрат. Следовательно, в конце необходимо сделать проверку.

13.34.Получив из второго уравнения после подстановки в него найденного значения x выражение для | y |, нужно позаботиться о том, чтобы | y | ≥ 0.

13.35.Из третьего уравнения x + y = π − z . Следовательно, tg z = −tg (π − z ) = −tg ( x + y ). (!!)

По формуле тангенса суммы и с помощью уравнения tg y = 2 t g x можно выразить tg z через tg x и подставить в первое уравнение.

13.36.Получить уравнения с одинаковыми левыми частями и сравнить их. При решении квадратного уравнения обратить внимание на исследование.

13.37.Прежде чем возводить уравнения в квадрат, оставим в левой части первого уравнения sin x , а в левой части второго уравнения оставим cos x .

13.38.При решении уравнений возникнут арксинусы и арккосинусы, которые будут накладывать ограничения на а. Следует ли к этим ограничениям добавлять |а| ≤ 1, |а + ½| ≤ 1, что вытекает непосредственно из условия?

13.39.Оценив правую и левую части уравнения, обнаружим, что равенство возможно лишь в случае, если обе равны четырем. B результате уравнение сводится к системе. B частности, следует обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть равна 4 лишь при tg x = tg y = 1.

13.40. Способ 1.Преобразовать уравнение в сумму квадратов и заменить системой.

Способ 2.Уравнение преобразуется к сумме двух неотрицательных выражений, которая равна нулю. B результате получим систему

13.41. Способ 1.После преобразования данное уравнение примет вид

Первые два члена дополнить до полного квадрата и получить сумму неотрицательных слагаемых, которая равна нулю.

Способ 2.Уравнение можно записать в виде

(1 − cos x ) cos y + sin x sin y = 3/ 2− cos x

и рассмотреть левую часть как однородное выражение относительно sin y и cos y . Остается оценить выражение A cos y + B sin y и правую часть уравнения.

13.42. Способ 1.Обозначив tg x = z , tg а = с , мы придем к выражению, которое должно быть тождеством относительно x . Остается вспомнить условие тождественного равенства двух многочленов.

Способ 2.Так как равенство

tg x + tg ( а − x ) + tg x tg ( а − x ) = b

должно выполняться тождественно, т. е. при всех x , то оно должно быть верным и для конкретных значений x , например при x = 0 и x = π/ 4. Найденные в результате значения а и b нуждаются в проверке.

13.43.На первый взгляд кажется естественным воспользоваться оценкой

sin² x + 1/ sin² x ≥ 2, cos² x + 1/ cos² x ≥ 2.

Однако это очень грубая оценка. B самом деле, если для одного из выражений достигается равенство, то другое обращается в бесконечность.

Следовательно, нужно преобразовать левую часть уравнения так, чтобы sin² x и cos² x не были разъединены. С этой целью удобно раскрыть скобки и заменить

sin 4 x = ¼ (1 − cos 2 x )², cos 4 x = ¼ (1 + cos 2 x )².

13.44.Левую часть выражения

sin 2 x − sin x cos 2 x = 3/ 2,

к которому приводится данное уравнение, удобно рассмотреть как A sin 2 x + B cos 2 x , где А = 1, B = -sin x , и оценить.

13.45.Задача сводится к уравнению типа sin α + cos β = 2, которое равносильно системе: sin α = 1, cos β = 1.

13.46.Найдя y из квадратного уравнения, следует использовать и его выражение через x (см. указание I, с. 150). При такой замене появляется опасность приобретения посторонних корней.

13.47.Данную систему уравнений удобно переписать в виде

Легко заметить, что следствием полученной системы является уравнение cos 7 x = 0, содержащее в качестве корней не только все числа, для которых cos x = 0, но и все корни второго уравнения. B самом деле, при cos 7 x = 0 получим cos² 7 x / 2= 1 и, следовательно, cos² x / 2= ½ . Остается отсеять посторонние значения x .

13.48.Левая и правая части преобразуются к виду, когда в знаменателе и в числителе появляются общие множители. Нужно следить за ограничениями, а в конце провести отбор решений.

13.49.Все ограничения можно объединить: sin 4 x ≠ 0. Эти значения нужно исключить из решений уравнения, полученного после преобразований.

13.50.Следить за равносильностью всех преобразований. Отобрать среди корней числителя те, которые не обращают в нуль знаменатель.

13.51.Из полученных значений t нужно отбросить те, для которых sin t = 0, cos t = 0 и cos 2 t = 0, а также (это будет видно в процессе преобразований) cos 2 t = ½. Первые три ограничения можно объединить: sin 4 t ≠ 0.

14.4.Когда мы заменим sin 2 x и cos 2 x на их выражения через tg x , могут быть потеряны те решения неравенства, при которых sin 2 x и cos 2 x существуют, а tg x не существует. Однако tg x входит в правую часть данного неравенства, а потому значения x , при которых tg x не существует, не могут быть решениями этого неравенства.

14.5. Способ 1.Чтобы найти секторы круга, в которых tg 2 x ≤ 0, нужно вначале построить радиусы, соответствующие углам, для которых tg 2 x = 0 и tg 2 x не существует.

Способ 2.B результате применения формулы тангенса двойного угла возможна потеря решений: из области определения выпадают точки, в которых cos x = 0.

14.8.Так как коэффициент при старшем члене положителен, то знаки корней зависят от знака свободного члена.

14.10.Найти те значения k , при которых полученное неравенство осуществимо.

14.11.Воспользоваться тем, что sin x + cos x = √2 cos ( x − π/ 4), и решить неравенство относительно y = cos ( x − π/ 4).