Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Тут можно читать онлайн Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - бесплатно ознакомительный отрывок. Жанр: Математика, издательство «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование», год 2003. Здесь Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование»
  • Год:
    2003
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    5-329-00766-6, 5-94666-080-2
  • Рейтинг:
    3.67/5. Голосов: 91
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 80
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы краткое содержание

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - описание и краткое содержание, автор Альберт Рывкин, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru

Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.

Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.

Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - читать книгу онлайн бесплатно (ознакомительный отрывок), автор Альберт Рывкин
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать
Рассмотрим треугольник DA 1 E Он прямоугольный и его площадь с одной - фото 787

Рассмотрим треугольник DA 1 E . Он прямоугольный и его площадь, с одной стороны, равна ½ A 1 D · DE , а с другой стороны, R / 2( A 1 D + DE + A 1 E ). Поскольку

получаем уравнение относительно H которое после подстановки а 23 R и - фото 788

получаем уравнение относительно H , которое после подстановки а = 2√3 R и возведения в квадрат принимает вид H ² = 4 HR , откуда H = 4 R .

Ответ.12√3 R ³.

3.31.Центр шара, касающегося трех ребер правильного тетраэдра, исходящих из общей вершины, должен лежать на биссектрисе соответствующего трехгранного угла, которая совпадает с высотой тетраэдра, опущенной из этой же вершины. Поскольку все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть треугольник SOA (рис. P.3.31), где SO — высота тетраэдра, SA — его ребро, а O 1— центр искомого шара и шара, вписанного в тетраэдр.

Треугольники SAO и SO 1 D подобны B первом известны все стороны во втором SO - фото 789

Треугольники SAO и SO 1 D подобны. B первом известны все стороны, во втором SO 1= a √6/ 4. = . Это позволяет вычислить R .

Ответ. a √2/ 4.

3.32.Если один куб расположен внутри другого, а вершина O y них общая, то диагонали этих кубов, проходящие через O , лежат на одной прямой. Поэтому из всех подобных кубов, которые можно поместить в параллелепипед, мы выберем максимальный.

Пусть с < а и с < b . Тогда в параллелепипед можно поместить куб с ребром с (рис. P.3.32).

Вычислим все стороны треугольника ABO и воспользуемся теоремой косинусов AB ² - фото 790

Вычислим все стороны треугольника ABO и воспользуемся теоремой косинусов:

AB ² = AO ² + BO ² − 2 AO · BO cos x ,

AO ² = а ² + b ² + с ², BO ² = 3 c ²,

AB ² = ( ас )² + ( bс )².

Для определения cos x получим уравнение

которое симметрично относительно а b и с а потому не зависит от соотношения - фото 791

которое симметрично относительно а , b и с , а потому не зависит от соотношения между этими величинами. Убедитесь сами в том, что cos x не будет больше единицы при любых а , b и с .

Ответ. 333Разность углов А и С равна φ BD биссектриса угла B в треугольнике ABC - фото 792

3.33.Разность углов А и С равна φ, BD — биссектриса угла B в треугольнике ABC (рис. P.3.33).

Вычислим угол а α B 2 С π A C 2 С π 2 C A 2 π 2 φ 2 - фото 793

Вычислим угол а:

α = B / 2+ С = π − AC / 2+ С = π/ 2+ CA / 2= π/ 2+ φ/ 2.

Объем призмы равен произведению АА 1на площадь основания ABC , т. е.

АА 1 (½ AD · DB sin α + ½ DC · DB sin α) = ½ ААDB · AC sin α = ½ aS cos φ/ 2.

Ответ.½ aS cos φ/ 2.

3.34.Пусть выбраны диагонали С 1 D и В 1 С (рис. P.3.34). Так как В 1 С || А 1 D и С 1 D || В 1 A , то плоскости А 1 С 1 D и АВ 1 С параллельны. Расстояние между В 1 С и С 1 D равно расстоянию между этими плоскостями.

Обе плоскости А 1 С 1 D и АВ 1 С перпендикулярны к диагонали BD 1 Поэтому - фото 794

Обе плоскости А 1 С 1 D и АВ 1 С перпендикулярны к диагонали BD 1. Поэтому искомое расстояние равно разности между отрезком BD 1и удвоенной высотой пирамиды D 1 А 1 С 1 D . Объем этой пирамиды равен a ³/ 6, а площадь основания А 1 С 1 D равна а √3/ 2, следовательно, высота h = a / √3. Так как BD 1= a √3, то искомое расстояние равно a √3 − 2 a / √3= a / √3.

Ответ. a / √3.

3.35.Из соображений симметрии ясно, что точка O лежит на диагонали AC 1куба. Для доказательства достаточно установить, что плоскость KMN (рис. P.3.35) перпендикулярна к АС 1и что АС 1проходит через точку O 1, являющуюся центром треугольника KMN .

По теореме о трех перпендикулярах АС 1 BD Следовательно АС 1 KN - фото 795

По теореме о трех перпендикулярах АС 1 ⊥ BD . Следовательно, АС 1 ⊥ KN . Аналогично прямая АС 1перпендикулярна к KM или MN , т. е. АС 1— перпендикуляр к плоскости KMN .

Треугольник KMN равносторонний. Так как AK = AN = AM , то из равенства соответствующих треугольников, имеющих общие вершины в точках А и О 1, получаем KO 1= NO 1= MO 1.

Мы доказали, что центр О сферы лежит на продолжении отрезка АС 1.

Так как AK — биссектриса в треугольнике OKO 1, то Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 796. Отсюда найдем OK = R , выразив остальные отрезки через ребро куба:

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 797

Подставив все эти выражения в пропорцию Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 798, получим уравнение относительно R . После простых преобразований это уравнение запишется в виде

6 R ² − 2√6 aR − 3 а ² = 0.

Геометрический смысл имеет только положительный корень.

Ответ. Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 799

3.36.Докажем вначале, что каждая сторона четырехугольника параллельна биссектральной плоскости двугранного угла, образованного данными взаимно перпендикулярными плоскостями. Перенесем сторону четырехугольника параллельно себе так, чтобы одна из ее вершин лежала на ребре этого двугранного угла (рис. P.3.36, а ). Полученный отрезок RS спроецируем на плоскости P и Q . Так как проекции при параллельном переносе не изменяются, то RS 1= RS 2= 1. Построим линейный угол S 1 TS 1, измеряющий двугранный угол между плоскостями P и Q , и соединим точки S и T . Треугольники RS 1 T и RS 2 T и треугольники RS 1 S и RS 2 S попарно равны, т. е. прямоугольные треугольники S 1 ST и S 2 ST — равные и равнобедренные. Следовательно, углы STSSTS 2равны 45°, а это означает, что сторона данного четырехугольника параллельна биссектральной плоскости. Проведя аналогичные рассуждения для каждой стороны, придем к выводу, что плоскость четырехугольника параллельна биссектральной плоскости.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Альберт Рывкин читать все книги автора по порядку

Альберт Рывкин - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы отзывы


Отзывы читателей о книге Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, автор: Альберт Рывкин. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x