Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Тут можно читать онлайн Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - бесплатно ознакомительный отрывок. Жанр: Математика, издательство «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование», год 2003. Здесь Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование»
  • Год:
    2003
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    5-329-00766-6, 5-94666-080-2
  • Рейтинг:
    3.67/5. Голосов: 91
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 80
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы краткое содержание

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - описание и краткое содержание, автор Альберт Рывкин, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru

Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.

Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.

Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - читать книгу онлайн бесплатно (ознакомительный отрывок), автор Альберт Рывкин
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Перенесем теперь плоскость P параллельно так, чтобы четырехугольник уперся в нее одной из своих вершин, которую обозначим буквой А (рис. P.3.36, б ).

Спроецируем четырехугольник ABCD на плоскость P Поскольку его проекция АВ 1 С - фото 800

Спроецируем четырехугольник ABCD на плоскость P . Поскольку его проекция АВ 1 С 1 D 1— квадрат, то ABCD — параллелограмм. Поэтому один из отрезков AB или AD равен √5/ 2. Предположим, что это AB .

Построим теперь след, оставленный плоскостью четырехугольника ABCD на плоскости P . Для этого построим вначале точку E , в которой пересекаются прямые BC и В 1 С 1, а затем соединим E и А . Угол между плоскостями ABCD и P измерим линейным углом BFB 1, равным 45°. Остается провести вычисления: Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 801 следовательно, угол B 1 AF равен 30° и поэтому B 1 E = 1/ √3; находим Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 802 и так как Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 803, то BC = √7/ 2.

Ответ.√5 + √7 .

3.37.Опишем около данной пирамиды конус с образующей l , высотой H и радиусом нижнего основания R . Объем конуса больше объема пирамиды. Если мы докажем, что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем самым будет решена.

Рассмотрим угол α между H и l . Тогда

H = l cos α, R = l sin α,

а объем конуса равен

V = π/ 3 R ² H = π/ 3 l ³ sin² α cos α.

Составим отношение:

V / l ³= ⅓π sin² α cos α = π/ 6sin 2α sin α ≤ π/ 6< 1,

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

3.38.B осевом сечении конуса получим картину, изображенную на рис. P.3.38.

По условию r pR Из подобия треугольников ЕОВ и FO 1 B получим r R H - фото 804

По условию r = pR . Из подобия треугольников ЕОВ и FO 1 B получим

r / R = H − 2 Rr / HR , т. е. H = 2 R ²/ Rr ,

а из подобия треугольников AOB и ОЕВ ( AB = l ) найдем

l / ρ= HR / R , (5)

т. е.

l = ρ HR / R = ρ 1 + p / 1 − p .

Так как l ² − ρ² = Н ², получаем уравнение относительно ρ, решая которое находим ρ² = R ²/ p . Полная поверхность конуса равна π p (ρ + 1). С помощью производной пропорции из соотношения (5) получим

l + ρ/ ρ= H / ρ, т. е. ( l + ρ)ρ = ρ² H / R = 2 R ²/ p (1 − p ).

Сумма поверхностей шаров равна 4π( R ² + r ²).

Составим искомое отношение:

2( R ² + r ²) p ( p − 1)/ R ²= 2(1 + p ²) p (1 − p ).

Ответ.2 p (1 − p )(1 + p ²).

3.39. Обозначим радиус сферы через R и рассмотрим осевое сечение каждого из конусов. Второй конус можно расположить внутри сферы произвольным образом. Мы расположим его так, чтобы образующие обоих конусов были параллельны (рис. P.3.39). Выразим радиусы оснований конусов через R .

B треугольнике FOK углы OFK и OKF равны α 2 Следовательно угол EOK равен их - фото 805

B треугольнике FOK углы OFK и OKF равны α/ 2· Следовательно, угол EOK равен их сумме, т. е. α. Из треугольника EOK находим EK = R sin α. Далее,

Составим теперь отношение объемов и приравняем его к a После простых - фото 806

Составим теперь отношение объемов и приравняем его к a . После простых преобразований придем к уравнению относительно α:

Так как 1 sin α 2 0 иначе не существует конус то откуда Чтобы можно - фото 807

Так как 1 + sin α/ 2 ≠ 0 (иначе не существует конус), то

откуда Чтобы можно было осуществить извлечение корня необходимо взять а 8 - фото 808

откуда

Чтобы можно было осуществить извлечение корня необходимо взять а 8 Так как - фото 809

Чтобы можно было осуществить извлечение корня, необходимо взять а ≥ 8.

Так как а > 0, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 и 1.

Ответ. 340Так как O 1 центр сферы касающейся граней SAB и SAC в точках B и C рис - фото 810

3.40.Так как O 1— центр сферы, касающейся граней SAB и SAC в точках B и C (рис. P.3.40, а ), то O 1лежит в плоскости, перпендикулярной к их общему ребру SA и проходящей через эти точки. При этом ED — биссектриса линейного угла ВЕС , измеряющего двугранный угол между рассматриваемыми плоскостями.

Если сделать такие же построения для второй сферы O 2 то получим - фото 811

Если сделать такие же построения для второй сферы O 2, то получим четырехугольник AFBO 2, равный четырехугольнику BECO 1(равенство очевидно из соображений симметрии, однако этот факт легко устанавливается и непосредственно). Следовательно, CO 1= AO 2= BO 2= BO 1. Заметим, что AO || CO 1как два перпендикуляра к плоскости ASC . Итак, O 1 O 2= AC = а .

Поскольку O 1 BASB , то O 1 BSB , аналогично O 2 BSB , откуда SBO 1 BO 2. Мы доказали, что SB — высота пирамиды SO 1 BO 2.

Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, остается вычислить длину отрезка BO 1. Так как отрезок EC из треугольника ASC определяется легко:

EC ² = a ²/ 4 b ²(4 b ² − a ²),

то дальнейшие вычисления нельзя проводить, оставаясь в плоскости BEC (рис. P.3.40, б ). Обратим лишь внимание на тот факт, что треугольники BES и CES равны, т. е. BE = CE , откуда следует, что биссектриса ED является в треугольнике BEC и медианой. Фигура BECO 1— ромбоид ( BCEO 1). Обозначим EC = с , BO 1= x . Треугольники ECOECD подобны. Поэтому ED : с = a / 2: x , откуда x = ac / 2 ED , т. е. x ² = a ² c ²/ 4 c ² − a ².

Подставляя вместо с = EC его выражение через а и b , получим

OB ² = a ²(4 b ² − a ²)/ 4(3 b ² − a ²).

Теперь можно определить высоту треугольника O 1 BO 2, опущенную на O 1 O 2. Она равна Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 812 Все элементы, необходимые для вычисления объема, сосчитаны.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Альберт Рывкин читать все книги автора по порядку

Альберт Рывкин - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы отзывы


Отзывы читателей о книге Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, автор: Альберт Рывкин. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x