Игорь Беляев - Древнеарийская философия том 1 и том 2

И здесь есть обширное место развернуться и найти применение своим силам сторонникам абстракции и обобщений, ибо примеров подобных моделей очень много. В их число, конечно же, входят такие жемчужины абстрактной алгебры, как теория групп и теория полей вместе с родственными им абстрактными конструкциями.

Есть ли выход? С точки зрения древнеарийской философии, «в конечном счёте, здравый смысл должен подсказать, какое направление исследований стоит того, чтобы им заниматься» 135Как следствие, исходя из столь фундаментального положения, «математический мир должен проводить различие не между чистой и прикладной математикой, а между математикой, ставящей своей целью решение разумных проблем, и математикой, потакающей лишь чьим-то личным вкусам и прихотям, математикой целенаправленной и математикой бесцельной, математикой содержательной и бессодержательной, живой и бескровной» 136

Если говорить конкретно, то «строгость, по выражению Жака Адамара, лишь освещает то, что завоевано интуицией» 137. В свою очередь, «Герман Вейль назвал строгость гигиеной, с помощью которой математик поддерживает здоровье и силу идей» 138

Строго говоря, «в действительности математик не полагается на строгое доказательство до такой степени, как обычно считают» 139, поскольку «его творения обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот смысл сам по себе придаёт реальность» 140. При исследовании реальных проблем «интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика» 141, и потому главным ориентиром почти всегда является соответствие теорий практике.

В результате, «когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании» 142. Поэтому, с точки зрения древнеарийской философии, «строгое доказательство ничего не значит для математика, если результат ему непонятен интуитивно» 143.

В результате, «обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру» 144. И, «если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция его подвела» 145.

Дело в том, что «математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов» 146, и потому «математическая строгость переживает сейчас не лучшее время» 147. По данному поводу «математик Анри Леон Лебег… заявил в 1928 г.: «Логика может заставить нас опровергнуть некоторые доказательства, но она не в силах заставить нас поверить ни в одно доказательство»» 148.

Иначе говоря, безудержная погоня за строгостью, и, с точки зрения древнеарийской философии, такое вовсе не кажется удивительным, приводит к результату, прямо обратному ожидаемому. Вдобавок, история показывает, что «прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделённые не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией» 149.

Именно по такой причине «великие математики заранее, ещё до того, как им удавалось найти логическое доказательство, знали, что какая-то теорема верна, и иногда ограничивались всего лишь беглым наброском доказательства» 150. И, «более того, Ферма в своей обширной классической работе по теории чисел и Ньютон (величина, впрочем, как кажется автору, спорная – прим. автора) в работе по кривым третьего порядка не привели даже набросков доказательств» 151.

Иначе говоря, под давлением обстоятельств, пусть медленно, но неуклонно выяснялось, что «математики поклонялись золотому тельцу – строгому, одинаково приемлемому для всех доказательству, истинному во всех возможных мирах, искренне веря, что это и есть бог» 152, но, к их великому сожалению, «истинный бог так и не открылся» 153. Как следствие, «математикам оставалось лишь терзаться не находящими ответа вопросами» 154, и только «теперь наступило прозрение: математики поняли, что их бог – ложный» 155.

Впрочем, никто не спорит о том, что «логика сдерживает необузданную интуицию» 156, но «интуиция играет в математике главную роль» 157. Но, поскольку «сама по себе она может приводить к чрезмерно общим утверждениям» 158, то «надлежащие ограничения устанавливает логика» 159.

Если говорить вкратце, то «интуиция отбрасывает всякую осторожность – логика учит сдержанности» 160. Конечно же, за всё приходится платить, и «приверженность логике приводит к длинным утверждениям со множеством оговорок и допущений и обычно требует множества теорем и доказательств, мелкими шашками преодолевающих то расстояние, которое мощная интуиция перемахивает одним прыжком» 161.

Однако, «на помощь интуиции, отважно захватившей расположенное перед мостом укрепление, необходимо выслать боевое охранение, иначе неприятель может окружить захваченную территорию, заставив нас отступить на исходные позиции» 162. Иначе говоря, в полном согласии с древнеарийской философией древнеарийской философии, «в основе математики лежит не логика, а здравый смысл и интуиция» 163.

В результате, «математик вынужден при выборе направления руководствоваться внешними соображениями» 164. И «наиболее важным из них по-прежнему остаётся традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики – её ценность для других наук» 165.

Опираясь на здравый смысл, даже в современной науке «ставшую уже ныне очевидной неопределённость в вопросах, связанных с истинными основаниями математики, и зыбкость её логики можно в какой-то степени игнорировать (хотя и не исключить полностью), если акцентировать внимание на внешних приложениях математики» 166. Несмотря на то, что главным критерием здесь будет адекватность создаваемых моделей практике, «с исторической точки зрения, апелляция к приложениям не означает радикального изменения сути математики, как это может показаться современным блюстителям строгости» 167.

Дело в том, что «математические понятия и аксиомы берут своё начало из наблюдений реального мира» 168. И «даже законы логики, как теперь стало ясно, являются не более, чем продуктом опыта» 169.

Согласно древнеарийской философии именно так и должно быть, и именно так и развивалась математика раньше. Например, встретив трудности при обосновании математического анализа, «математики, можно сказать, сознательно прибегли к житейской мудрости: если анализ нельзя излечить, необходимо хотя бы продлить ему жизнь» 170.