Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Эти концепции не слишком сложны. Математически они намного проще многих элементов традиционного квантового курса, таких как уже упоминавшийся атом водорода или теория рассеяния. Главная трудность в понимании запутанности — не недостаток у студента необходимых математических навыков; она связана скорее с его воображением. Чтобы стать хорошим физиком, необходимо эту способность у себя развить; как говорил Эйнштейн, воображение на самом деле важнее знаний.

Название нашей дисциплины — квантовая механика — подразумевает, что мы изучаем применение квантовых принципов к законам движения. На самом же деле рамки квантовой теории не ограничены механикой; она применима во всех областях физики. Если наша цель состоит в том, чтобы изучить общие принципы квантовой физики, то разумно ли выбирать именно механику в качестве физической системы для иллюстрации этих принципов?

Если мы задумаемся над этим вопросом всерьез, то вынуждены будем дать отрицательный ответ. Использование механики — в основном дань традиции, поскольку именно в механике исторически имело место первое успешное применение квантовых принципов в их современной форме. Но если говорить об обучении, то объяснение базовых квантовых принципов на примере механики — весьма неудачный подход. Гильбертово пространство, связанное с этой системой, имеет бесконечную размерность; более того, базис имеет мощность континуума. Студенту приходится иметь дело с незнакомым, чрезвычайно сложным и не всегда строгим математическим аппаратом, включающим в себя обобщенные функции, преобразование Фурье и функциональный анализ. В результате вместо того, чтобы сосредоточить усилия студентов на понимании физических концепций, мы заставляем их сражаться с математикой, а это зачастую ведет к путанице средств и целей. Трудно ожидать от подобного опыта сколько-нибудь глубокого понимания. Студент попросту не увидит за деревьями леса.

Если мы поставим перед собой выбор физической системы для иллюстрирования квантовой физики, нам следует взять ту, у которой гильбертово пространство обладает наименьшей нетривиальной размерностью, а именно — равной двум. Имеется множество таких систем, которые в настоящее время изучаются в контексте квантовых информационных технологий в качестве квантовых бит. Среди подобных систем выделяется одна как наиболее тщательно исследованная и интуитивно понятная: поляризация фотона. Как правило, студент, приступающий к изучению квантовой физики, успел уже освоить оптическую волновую поляризацию. Векторы поляризации Джонса напрямую транслируются в векторы состояния фотонной поляризации, а матрицы, описывающие трансформацию этих векторов различными волновыми пластинками, превращаются в операторы. Принимая во внимание дискретную природу фотона, несложно обосновать постулат квантового измерения из классической картины измерения поляризации. Таким образом, основные квантовые принципы выводятся из классической поляризационной оптики (и студенческого лабораторного опыта обращения с ней) самым простым и естественным образом.

Фотонная поляризация оказывается полезной и позже, когда мы переходим к изучению запутанности. Огромное количество экспериментов по проверке принципиальных моментов в квантовой информатике было проделано с использованием именно данного объекта в качестве носителя квантового бита. Некоторые из этих экспериментов — в частности, по квантовой криптографии, телепортации и нелокальности — относятся непосредственно к концепциям, описанным в книге. Иллюстрируя теоретический материал данными экспериментов из актуальнейших на сегодняшний день исследовательских тем, эта книга сразу, с самого начала, вводит студентов в самое сердце квантовой физики. А что может придать изучению академической дисциплины больший интерес, чем свежие результаты из исследовательских лабораторий?

Раз уж мы заговорили о лабораториях, замечу, что опыт студентов не должен ограничиваться чтением материалов об экспериментах, проведенных кем-то другим. Огромное преимущество поляризационного кубита как иллюстрирующей системы состоит в том, что он позволяет усилить курс лабораторным компонентом. Почти весь материал главы 1 иллюстрируется классическим экспериментом с поляризацией, для которого требуются лазер, несколько поляризационных пластинок, поляризующий светоделитель и два детектора. Материал по запутанности можно подать наглядно при помощи серии лабораторных работ по удаленному приготовлению состояния, однофотонной интерференции и нелокальности Белла. Организовать такие эксперименты силами среднестатистической кафедры физики сложнее, но вполне по силам, о чем свидетельствует опыт множества колледжей по всему миру, в том числе и моего родного Университета Калгари. Дополнительные подробности на предмет возможных образовательных лабораторных работ можно найти на сайте книги.

Связь между квантовой физикой и квантовой оптикой в этой книге не ограничена использованием фотона для иллюстрации основных концепций соответствующей дисциплины. Она проявляется также в многочисленных примерах из оптики, обильно рассыпанных по всей книге, и в выборе предметов для более углубленного изучения (подробное описание гармонического осциллятора, представления Гейзенберга, сжатия, матриц плотности, двухуровневых систем, квантовой томографии). Эти предметы будут особенно полезны тем, кто интересуется квантовой информатикой в целом и квантовой оптикой в частности.

Книга содержит материал, который можно преподать студентам в рамках двухсеместрового курса квантовой механики. В главе 1 вводятся главные принципы и постулаты КМ, которые иллюстрируются кубитом поляризации фотона. Читатель, возможно, захочет изучать эту главу параллельно с приложением A, в котором разобраны основы линейной алгебры, необходимые в КМ, как показано в таблице ниже.

Глава 2 целиком посвящена запутанности, ее следствиям и приложениям. Сначала я ввожу пространство тензорных произведений математически, затем рассказываю о частичных квантовых измерениях, удаленном приготовлении состояния и парадоксе нелокальности (в формах Белла и Гринбергера — Хорна — Цайлингера), иллюстрируя теорию экспериментами с запутанными фотонами. Нелокальность, пожалуй, главный парадокс квантовой механики, и после него естественно обсудить механизм квантовых измерений, их естественный аналог (декогеренцию) и интерпретации квантовой механики. В разд. 2.4 мы выясняем, когда и почему квантовая система становится классической в ходе измерения и почему мы не встречаем гуляющих по городу кошек Шрёдингера. После этого я весьма подробно рассматриваю приложения запутанности, такие как квантовые вычисления, телепортация и повторители. При преподавании этого материала имеет смысл предложить двум или трем студентам сделать презентации по свежим исследованиям в данной области.