Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Конечно, если квантовый процесс описывается оператором, тот должен быть не просто линейным, но также унитарным (см. разд. 1.10). Однако для данного упражнения этот факт не существенен.

На самом деле достаточно, чтобы набор был остовным; ему не обязательно быть линейно независимым.

При n ≠ m это всего лишь формальные математические объекты, которые не соответствуют никаким физическим состояниям. Однако они удобны для тренировки интуиции.

Поле — это понятие из алгебры, обозначающее полное множество некоторых чисел. Примерами полей могут служить множества рациональных (ℚ), действительных (ℝ) и комплексных (ℂ) чисел. Квантовая механика обычно имеет дело с векторными пространствами над полем комплексных чисел.

Обратите внимание: в качестве альтернативной нотации для |zero⟩ мы иногда используем просто 0, но никогда не |0⟩.

То есть такая, в которой по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю.

Мы используем символ ≃ вместо =, когда выражаем векторы и операторы в матричной форме, как в (A.2). Делается это для того, чтобы подчеркнуть разницу: левая часть (вектор) представляет собой абстрактный объект и не зависит от базиса, тогда как правая часть — это набор чисел, зависящий от выбора базиса {|𝑣i⟩}. Однако в литературе, как правило, для простоты используется знак равенства.

Отображение — это функция, которая устанавливает для каждого элемента | a ⟩ в 𝕍 уникальный «образ» Â | a ⟩.

ℂ 2есть линейное пространство столбцов содержащих по два комплексных числа.

Это упрощенный вид формулы Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла. Полный вид этой формулы более сложен и выполняется в том числе для случая, когда не коммутирует с

На протяжении всей книги я использую нижние индексы для обозначения дискретных вероятностей, таких как pri или и скобки для обозначения непрерывных плотностей вероятности, к примеру pr( Q ).

Строгая формулировка этого утверждения называется центральной предельной теоремой.

Определение того, какая из круговых поляризационных схем должна называться «левой», а какая «правой», — вопрос соглашения. Здесь мы следуем соглашению, принятому в квантовой оптике. В право-циркулярной схеме конец вектора электрического поля вращается по часовой стрелке, если смотреть «сзади» относительно волны (от источника). Однако вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть «спереди», или в плоскости x-y с традиционной ориентацией осей. В пространстве эта траектория имеет вид левого винта.

Гладкой называется функция, имеющая производные всех конечных порядков.

Не существует общепринятой договоренности ни о том, где ставить минус в показателе комплексной экспоненты — в уравнении (Г.10) или (Г.21), ни о том, как распределить между ними множитель 1/2π. Для этой книги я выбрал договоренность по своему собственному вкусу.

Реальная скорость передачи секретного ключа несколько ниже из-за «наценки», связанной с усилением секретности.

Здесь мы пренебрегаем относительным сдвигом фазы, который PBS налагает на пары вертикальных и горизонтальных фотонов.

Строго говоря, решение для φ не определено, если либо ψ↑, либо ψ↓ обнуляется. Тем не менее эти случаи соответствуют уникальным блоховским векторам, указывающим на северный и южный полюса блоховской сферы соответственно.

В этих рассуждениях мы пренебрегаем соглашением о том, что полярный угол θ должен находиться в интервале от 0 до π. Если мы хотим учитывать это соглашение, нам следует переопределить полярные углы следующим образом. Обозначим θ′ = 4α mod π. Тогда При 0 ≤ θ′ ≤ π это состояние соответствует блоховскому вектору с θ = θ′, φ = 0. При π < θ′ < 2π мы можем записать что соответствует блоховскому вектору с θ = 2π — θ′, φ = π. В обоих случаях θ ∈ [0, π].

Этот более строгий подход дает нам то же самое геометрическое место на сфере Блоха, что и приведенный выше упрощенный.

Это соответствует географической широте π/2 — θ.

Обратите внимание на знак: фиктивное поле направлено вдоль отрицательной оси z при положительном Δ. Это означает, что при положительном Δ полярный угол вектора Блоха увеличивается со временем. Все происходит наоборот по отношению к упр. 4.62, a), где поле направлено вдоль положительного направления оси z, а полярный угол вектора Блоха со временем уменьшается.

Конечно, эти векторы представляют собой просто наборы чисел, а не квантовые состояния.

Логарифм и квадратный корень — примеры многозначных функций, весьма распространенных в комплексном анализе.