Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Символ Леви-Чивиты, известный также как антисимметричный единичный тензор третьего ранга, определяется следующим образом:

Для любых j, k, l значение εjkl меняет знак, как только любые два индекса меняются местами. Следовательно, всякий раз, когда любые два индекса равны, εjkl = 0.

ε 123≡ εxyz = 1.

В явном виде:

ε xyz = 1,ε xzy = −1,ε zxy = 1,ε zyx = −1,ε yzx = 1,ε yxz = −1, (4.18)

все остальные εjkl = 0.

Как говорилось в разд. 3.3.1 (см. также разд. A.2), символ «≃» означает, что уравнение (4.20) применимо к волновым функциям исключительно в координатном базисе. В полном виде уравнение (4.20) выглядело бы так:

и т. д.

Это независимо от того факта, что собственные состояния вырождены даже в 𝕐, как мы увидим в следующем разделе.

Этот подход — частный случай метода разделения переменных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

С тем же успехом мы могли бы выбрать Несколько примеров такого рода мы увидим позже в этом разделе.

Обозначение |λμ⟩ может ошибочно навести на мысль, что данное состояние представляет собой тензорное произведение. Конечно, это не так: |λμ⟩ есть элемент единственного гильбертова пространства 𝕐.

Иногда орбитальное квантовое число l называют просто «момент импульса». Этот термин используется в профессиональном жаргоне, чтобы подчеркнуть, что значение ℏ l есть квантовый эквивалент классического абсолютного значения вектора момента импульса.

Стандартное определение сферических гармоник использует связанные полиномы Лежандра. Однако в нашем определении, позаимствованном из книги R. Shankar. Principles of quantum mechanics (Kluwer, 1990), эти полиномы не задействованы, поэтому оно менее громоздко. Этот вид определения соответствует договоренности, которая чаще всего используется в квантовой механике.

Множитель (–1)l в уравнение (4.40) добавляется по соглашению.

В применении к спину вместо l обычно используется символ s. Символ l зарезервирован для обозначения орбитального момента импульса.

Энергии отрицательны, как и ожидалось для связанных состояний.

E. Rutherford, The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom , Philosophical Magazine 21, 669 (1911).

N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules , Philosophical Magazine 26, 1–24 and 476–502 (1913).

Первоначальная формулировка Менделеева гласила, что периодическая зависимость наблюдается от атомного веса элемента, поскольку в то время атомное ядро еще не было открыто.

Магнитное же квантовое число m не влияет на энергию даже в многоэлектронных атомах.

Мы используем символ а не чтобы подчеркнуть, что подпространство l = 2 может соответствовать только спиновой степени свободы.

Изоморфизм 𝑓(⋅) между линейными пространствами 𝕍 и 𝕎 есть взаимно однозначное отображение | a ⟩ ∈ 𝕍 ↦ 𝑓(| a ⟩) ∈ 𝕎, такое что для любых | a ⟩, | b ⟩ ∈ 𝕍 и числа λ

𝑓(| a ⟩ + | b ⟩) = 𝑓(| a ⟩) + 𝑓(| b ⟩); (4.63)

𝑓(λ| a ⟩) = λ𝑓(| a ⟩).

Обратите внимание на разницу между изоморфизмом и линейным оператором (определение A.15). Линейный оператор есть отображение в пределах единого линейного пространства, тогда как изоморфизм может связывать два разных линейных пространства. Кроме того, линейный оператор не обязан быть взаимно однозначным отображением.

Определение гиромагнитного отношения см. в Отступлении 4.4.

W. Gerlach and O. Stern, Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld, Zeitschrift für Physik 9, 349–352 (1922); W. Gerlach and O. Stern, Das magnetische Moment des Silberatoms, Zeitschrift für Physik 9, 353–355 (1922); W. Gerlach and O. Stern, Der experimentelle Nachweis des magnetischen Moments des Silberatoms, Zeitschrift für Physik 8, 110–111 (1922).

В этом разделе мы будем использовать для обозначения частоты Лармора символ Ω 0, а не Ω L.

Это магнитное поле обычно называют радиочастотным (rf, radio-frequency), потому что ω, как правило, лежит в диапазоне, где осуществляются радио- и телетрансляции. Поле B 0называют постоянным (dc, direct current) полем.

Блоховский вектор в новом базисе получается подстановкой в (4.62) вместо

В действительности уравнение (4.85) корректно представляет гамильтониан системы в так называемом представлении взаимодействий , которое мы здесь не изучаем.

Населенность квантового состояния есть полное число частиц в этом состоянии. В нашем случае населенности состояний со спинами, ориентированными вверх и вниз, равны, соответственно, n pr ↑и n pr ↓, где n — полное число электронов в образце.

Обсуждение близкой темы см. в подразд. 3.8.2.

Отсылка к тому, что интеграл представляет собой «площадь под кривой».

Импульс площадью π соответствует логической операции НЕ над спиновым кубитом: он преобразует |0⟩ = |↑⟩ в |1⟩ = |↓⟩, и наоборот.

Математическое представление, связанное с оператором плотности, предложили независимо друг от друга Джон фон Нейман и Лев Ландау в 1927 г. Термины «матрица плотности» и «оператор плотности» традиционно взаимозаменяемы.

Обратите внимание, что существование спектрального разложения (5.4) не следует тривиальным образом из определения матрицы плотности (5.1). Два данных выражения очень похожи, но элементы суммы в (5.4) составляют ортонормальный базис, тогда как в (5.1) это просто произвольные состояния.

Это верно в случае и стационарного, и вращающегося базиса, поскольку оба они состоят из собственных состояний

Как говорилось в разд. 3.8, квантовое описание моды электромагнитного поля эквивалентно описанию гармонического осциллятора.

К примеру, см.: Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980.

См. описание эксперимента в: A. G. White, D. F. V. James, W. J. Munro, and P. G. Kwiat, Exploring Hilbert space: Accurate characterization of quantum information, Physical Review A 65, 012301 (2001).