Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е xy и е yx следующим образом:

(39.6)

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения u х и u y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол θ/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если ∂ u y /∂ х и ∂ u x /∂ у равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е ху = е уx .

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

(39.7)

Они образуют компоненты тензора деформации . Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е ху всегда равно е ух ), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если Аи В— векторы, то С ij = А i В j — тензор.) А каждое наше e ij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора u=( u х , u у , u z ) и оператора ∇=(∂/∂ x ,∂/∂ y ,∂/∂ z ), который, как мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x 1, x 2и x 3, а вместо u х , u y и u z писать u 1, u 2и u 3; тогда общий вид элемента тензора e ij будет выглядеть так:

(39.8)

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e ij — постоянные, и мы можем написать

(39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где u равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z ) и вектором перемещения u=( u х , u у , u z ).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

(39.10)

где ω ij, — антисимметричный тензор

(39.11)

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором е ij .

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S ijлинейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9×9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl , определив посредством уравнения

(39.12)

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга . Мы можем назвать его тензором упругости .

Предположим, что все C ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х , скажем F = kx , то работа, затраченная на любое перемещение х , равна kx 2/2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

(39.13)

Полная же работа W , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему: